円 $C: (x-1)^2 + y^2 = 5$ と直線 $l: y = 2x + k$ が異なる2点で交わるとき、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

円 $C: (x-1)^2 + y^2 = 5$ と直線 $l: y = 2x + k$ が異なる2点で交わるとき、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

円の中心と直線の距離が、円の半径よりも小さいとき、円と直線は異なる2点で交わります。

* 円 $C: (x-1)^2 + y^2 = 5$ の中心は $(1, 0)$ で、半径は $\sqrt{5}$ です。

* 直線 $l: y = 2x + k$ を $2x - y + k = 0$ と変形します。

* 点 $(1, 0)$ と直線 $2x - y + k = 0$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて計算できます。

$d = \frac{|2(1) - (0) + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 + k|}{\sqrt{5}}$

* 円と直線が異なる2点で交わるためには、$d < \sqrt{5}$ が成立する必要があります。

$\frac{|2 + k|}{\sqrt{5}} < \sqrt{5}$

$|2 + k| < 5$

$-5 < 2 + k < 5$

$-7 < k < 3$

3. 最終的な答え

$-7 < k < 3$