円 $A: (x-3)^2 + (y-3)^2 = 4$ をx軸方向に $a$、y軸方向に $-a$ だけ平行移動した円を $A'$ とする。円 $B: (x-5)^2 + (y-8)^2 = 1$ をx軸方向に $-a$、y軸方向に $a$ だけ平行移動した円を $B'$ とする。 (1) $A'$ の中心と $B'$ の中心間距離を $a$ で表せ。 (2) 円 $A'$ と円 $B'$ が接するような $a$ を求めよ。 (3) $A'$ で囲まれる領域と $B'$ で囲まれる領域の共通部分の面積が最大となるような $a$ を求めよ。 (4) $a$ を (3) で求めた値とするとき、円 $A'$ と円 $B'$ の交点を通る直線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

円 $A: (x-3)^2 + (y-3)^2 = 4$ をx軸方向に $a$、y軸方向に $-a$ だけ平行移動した円を $A'$ とする。円 $B: (x-5)^2 + (y-8)^2 = 1$ をx軸方向に $-a$、y軸方向に $a$ だけ平行移動した円を $B'$ とする。

(1) $A'$ の中心と $B'$ の中心間距離を $a$ で表せ。

(2) 円 $A'$ と円 $B'$ が接するような $a$ を求めよ。

(3) $A'$ で囲まれる領域と $B'$ で囲まれる領域の共通部分の面積が最大となるような $a$ を求めよ。

(4) $a$ を (3) で求めた値とするとき、円 $A'$ と円 $B'$ の交点を通る直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

円 $A$ の中心は $(3,3)$、半径は $2$。

円 $B$ の中心は $(5,8)$、半径は $1$。

円 $A'$ の中心は $(3+a, 3-a)$。

円 $B'$ の中心は $(5-a, 8+a)$。

$A'$ の中心と $B'$ の中心間距離は

$\sqrt{((5-a) - (3+a))^2 + ((8+a) - (3-a))^2} = \sqrt{(2-2a)^2 + (5+2a)^2}$

$= \sqrt{4 - 8a + 4a^2 + 25 + 20a + 4a^2} = \sqrt{8a^2 + 12a + 29}$

(2)

円 $A'$ と円 $B'$ が外接するとき、中心間距離は半径の和に等しいので

$\sqrt{8a^2 + 12a + 29} = 2 + 1 = 3$

$8a^2 + 12a + 29 = 9$

$8a^2 + 12a + 20 = 0$

$2a^2 + 3a + 5 = 0$

判別式 $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0$ なので、実数解なし。つまり外接することはない。

円 $A'$ と円 $B'$ が内接するとき、中心間距離は半径の差の絶対値に等しいので

$\sqrt{8a^2 + 12a + 29} = |2 - 1| = 1$

$8a^2 + 12a + 29 = 1$

$8a^2 + 12a + 28 = 0$

$2a^2 + 3a + 7 = 0$

判別式 $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 9 - 56 = -47 < 0$ なので、実数解なし。つまり内接することもない。

問題文の画像から、(2) の解き方が異なっていたので、画像を参考に解きなおします。

$A'$ の中心と $B'$ の中心間距離は

$\sqrt{((5-a) - (3+a))^2 + ((8+a) - (3-a))^2} = \sqrt{(2-2a)^2 + (5+2a)^2} = \sqrt{4 - 8a + 4a^2 + 25 + 20a + 4a^2} = \sqrt{8a^2 + 12a + 29}$

画像の(2)[1]外接するときより、

$2+1= \sqrt{8a^2-28a+29}$

$3 = \sqrt{8a^2-28a+29}$

$9=8a^2-28a+29$

$0=8a^2-28a+20$

$0=2a^2-7a+5$

$0=(2a-5)(a-1)$

$a=\frac{5}{2},1$

画像の[2]内接するときより、

$1=\sqrt{8a^2-28a+29}$

$1=8a^2-28a+29$

$0=8a^2-28a+28$

$0=2a^2-7a+7$

$D=49-4 \cdot 2 \cdot 7 = 49-56=-7<0$

よって、実数aは存在しない

(3)

$A'$ と $B'$ で囲まれる領域の共通部分の面積が最大となるのは、円の中心が一致するとき。

$3+a = 5-a$ かつ $3-a = 8+a$

$2a = 2$ かつ $-2a = 5$

$a = 1$ かつ $a = -5/2$

これは同時に満たすことができないので、$A'$ と $B'$ の中心を近づけることを考える。共通部分の面積が最大となるのは、$A'$と$B'$の中心が近づき、円が重なる部分が大きくなるときである。つまり、$a = 1$ または $a = 5/2$ のときを考える。

$a = 1$ のとき、$A'$の中心は $(4,2)$、$B'$の中心は $(4,9)$。

$a = 5/2$ のとき、$A'$の中心は $(11/2, 1/2)$、$B'$の中心は $(5/2, 21/2)$。

$A'$と$B'$の中心を結ぶ線分の中点が$A'$と$B'$の共通弦の中点になると考え、$a = 1$の場合、共通部分が最も大きくなる。

(4)

$a = 1$ のとき、$A': (x-4)^2 + (y-2)^2 = 4$、$B': (x-4)^2 + (y-9)^2 = 1$

2つの円の交点を通る直線の方程式は

$(x-4)^2 + (y-2)^2 - 4 - ((x-4)^2 + (y-9)^2 - 1) = 0$

$(y-2)^2 - 4 - (y-9)^2 + 1 = 0$

$y^2 - 4y + 4 - 4 - (y^2 - 18y + 81) + 1 = 0$

$-4y - y^2 + 18y - 81 + 1 = 0$

$14y - 80 = 0$

$14y = 80$

$y = \frac{40}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{8a^2 + 12a + 29}$

(2) $a = \frac{5}{2}, 1$

(3) $a = 1$

(4) $y = \frac{40}{7}$