$0 \le x \le \pi$ の範囲において、不等式 $2\sin x - 2\cos x > \sqrt{6}$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

## 問題1

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ の範囲において、不等式 $2\sin x - 2\cos x > \sqrt{6}$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式を変形します。

$2\sin x - 2\cos x > \sqrt{6}$

$\sin x - \cos x > \frac{\sqrt{6}}{2}$

左辺を合成します。

$\sqrt{2} \sin (x - \frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\sin (x - \frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}$

$\sin (x - \frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le x \le \pi$ より、 $-\frac{\pi}{4} \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$ です。

この範囲で $\sin \theta > \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ の範囲は、

$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2\pi}{3}$ です。

したがって、

$\frac{\pi}{3} < x - \frac{\pi}{4} < \frac{2\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} < x < \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$

$\frac{4\pi + 3\pi}{12} < x < \frac{8\pi + 3\pi}{12}$

$\frac{7\pi}{12} < x < \frac{11\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{12}\pi < x < \frac{11}{12}\pi$

## 問題2

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲において、不等式 $4\cos^2 x + 2\cos x > 2\sqrt{2}\cos x + \sqrt{2}$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式を変形します。

$4\cos^2 x + 2\cos x > 2\sqrt{2}\cos x + \sqrt{2}$

$4\cos^2 x + (2 - 2\sqrt{2})\cos x - \sqrt{2} > 0$

$t = \cos x$ とおくと、

$4t^2 + (2 - 2\sqrt{2})t - \sqrt{2} > 0$

$(2t - \sqrt{2})(2t + \sqrt{2} + 1) > 0$

$t < \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $t > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$2t + \sqrt{2}+1 =0$を解くと、$t = \frac{-\sqrt{2}-1}{2}$になり、$t = \cos x$ であり、−1≤cos x ≤1 より、$t < \frac{-\sqrt{2}-1}{2}$になることはないため。

よって、$\cos x < \frac{-\sqrt{2}-1}{2}$、$-\frac{\sqrt{2}+1}{2} \approx -1.2$ より、-1≤cos x より、解なし。

もしくは、$\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ を解く。

$\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $x$ の範囲は、

$0 \le x < \frac{\pi}{4}$ または $\frac{7\pi}{4} < x < 2\pi$

3. 最終的な答え

$0 \le x < \frac{\pi}{4}$、$\frac{7}{4}\pi < x < 2\pi$