図に示された三角形において、$\theta$ の角度を求める問題です。三角形の辺の長さはそれぞれ1, 2, 5と与えられています。この図において、$\theta$は、長さが1と2の辺がなす角です。長さが1の辺は、2と直角をなしています。

1. 問題の内容

図に示された三角形において、$\theta$ の角度を求める問題です。三角形の辺の長さはそれぞれ1, 2, 5と与えられています。この図において、$\theta$は、長さが1と2の辺がなす角です。長さが1の辺は、2と直角をなしています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた三角形の構造を理解します。問題文から、長さが1の辺と長さが2の辺が直角をなしていることがわかります。しかし、三角形全体の図からみると、長さ1の辺と長さ2の辺が直角をなすとは限りません。長さ1の辺は、底辺が2の直角三角形の高さとして与えられています。その斜辺が、求める角$\theta$の隣辺となります。

底辺が2、高さが1の直角三角形の斜辺の長さを求めます。ピタゴラスの定理より、斜辺の長さは $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ となります。

次に、$\theta$ が含まれる三角形について考えます。$\theta$の隣辺の長さは$\sqrt{5}$、$\theta$の対辺の長さは5、そして$\theta$を含む三角形の残りの一辺の長さは不明です。しかし、三角形の形状から余弦定理を用いて$\theta$を求めることができます。

$\theta$を含む三角形の３辺の長さは、$\sqrt{5}, 2, 5$です。余弦定理より、$5^2 = (\sqrt{5})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 \cdot \cos{\theta}$ が成り立ちます。この式を$\cos{\theta}$について解きます。

$25 = 5 + 4 - 4\sqrt{5}\cos{\theta}$

$16 = -4\sqrt{5}\cos{\theta}$

$\cos{\theta} = -\frac{16}{4\sqrt{5}} = -\frac{4}{\sqrt{5}}$

$\cos{\theta} = -\frac{4\sqrt{5}}{5}$

$\theta = \arccos(-\frac{4\sqrt{5}}{5})$

この値は定義域外なので、問題の設定が間違っているか、図が正確ではありません。長さ１の辺と長さ２の辺がなす角を直角と仮定しましたが、図が正確でない場合、$\theta$を余弦定理だけで求めるのは難しいです。

長さ1の線分が底辺2に対して垂直であることを考慮すると、角度$\theta$を持つ三角形の三辺は2、$\sqrt{5}$、5となります。余弦定理を適用すると、

$5^2 = (\sqrt{5})^2 + 2^2 - 2(\sqrt{5})(2)cos(\theta)$

$25 = 5 + 4 - 4\sqrt{5}cos(\theta)$

$16 = -4\sqrt{5}cos(\theta)$

$cos(\theta) = -\frac{4}{\sqrt{5}} = -\frac{4\sqrt{5}}{5} \approx -1.788$

しかし、cos関数の値は-1から1の間にある必要があるので、上記の値は有効ではありません。これは図に誤りがあるか、情報が不足していることを意味します。したがって、この情報だけでは$\theta$を求めることはできません。

3. 最終的な答え

図の情報が不足しているため、$\theta$の値を正確に求めることができません。図に誤りがあるか、情報が不足している可能性があります。