図の角$\theta$の大きさを求める問題です。図には、長さが1と2の辺を持つ直角三角形と、斜辺の長さが5の三角形が描かれています。

1. 問題の内容

図の角$\theta$の大きさを求める問題です。図には、長さが1と2の辺を持つ直角三角形と、斜辺の長さが5の三角形が描かれています。

2. 解き方の手順

まず、直角三角形において、$\cos \theta$の値を求めます。$\cos \theta$は、斜辺分の隣辺で計算できます。

直角三角形の斜辺の長さを$x$とすると、ピタゴラスの定理より、

$x^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

したがって、$x = \sqrt{5}$となります。

$\cos \theta$の値は以下のようになります。

$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$

次に、$\sin \theta$の値を求めます。

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$

三角形の面積を2通りで表し、$\theta$を求めます。

直角三角形の面積は$\frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$です。

もう一つの三角形の面積は、$S = \frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times 5 \times \sin \alpha$ (ただし、$\alpha$は$\sqrt{5}$と5の間の角) と表せます。

この二つの三角形を合わせた三角形の面積は、$1 + \frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times 5 \times \sin \alpha$ です。

また、この三角形の面積は$\frac{1}{2} \times 2 \times 5 \times \sin \theta = 5 \sin \theta$ とも表せます。

$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$なので、$5 \cos \theta = 5 \times \frac{2}{\sqrt{5}} = 2 \sqrt{5}$

余弦定理より、$5^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \times 2 \times \sqrt{5} \cos \theta$

$25 = 4 + 5 - 4 \sqrt{5} \cos \theta$

$16 = -4 \sqrt{5} \cos \theta$

$\cos \theta = -\frac{16}{4 \sqrt{5}} = -\frac{4}{\sqrt{5}}$

$\theta$は直角三角形の角なので、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ です。したがって、$\cos \theta$ は正である必要があります。

$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ を満たす$\theta$は$\theta = \arccos \frac{2}{\sqrt{5}}$です。

この値を計算すると、$\theta \approx 26.565$度です。

$\tan \theta = \frac{1}{2}$なので、$\theta = \arctan \frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$\theta = \arctan{\frac{1}{2}}$