$a \ge 1$ を満たす実数 $a$ に対して、2つの放物線 $C: y = x^2 - ax - a$ と $D: y = ax^2 + ax$ を考える。 (1) 2つの放物線 $C$ と $D$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。 (2) $a$ が(1)で求めた範囲にあるとき、$C$ と $D$ の2つの交点を通る直線の傾きを $m$ とする。$m$ が最大になるように $a$ の値を定め、そのときの $m$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a \ge 1$ を満たす実数 $a$ に対して、2つの放物線 $C: y = x^2 - ax - a$ と $D: y = ax^2 + ax$ を考える。

(1) 2つの放物線 $C$ と $D$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

(2) $a$ が(1)で求めた範囲にあるとき、$C$ と $D$ の2つの交点を通る直線の傾きを $m$ とする。$m$ が最大になるように $a$ の値を定め、そのときの $m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $C$ と $D$ の交点を求める。

$x^2 - ax - a = ax^2 + ax$

$(1-a)x^2 - 2ax - a = 0$

これが異なる2つの実数解を持つ条件を考える。

$a \ne 1$ のとき、判別式を $D'$ とすると、

$D' = (-a)^2 - (1-a)(-a) = a^2 + a - a^2 = a > 0$

したがって、$a>0$

$a=1$ のとき $-2x-1=0$となり、$x=-1/2$の一点のみで交わるため不適である。

また、$a\ge 1$ より、$a > 1$

(2) 交点の $x$ 座標を $x_1, x_2$ とすると、$x_1+x_2 = \frac{2a}{1-a}$，$x_1 x_2 = \frac{-a}{1-a}$

2つの交点を通る直線は、放物線 $C$ から放物線 $D$ を引いた式となる。

$y = x^2 - ax - a$

$y = ax^2 + ax$

$0 = (1-a)x^2 -2ax - a$

この2交点を通る直線は、

$C - D: y - y = (x^2 - ax - a) - (ax^2 + ax)$

$0 = (1-a)x^2 -2ax - a$

$C - D = 0$を変形すると、

$y = x^2 - ax - a$

$y = ax^2 + ax$

$ax^2 + ax = x^2 -ax -a$

$(a-1)x^2+2ax + a = 0$

$x_1 + x_2 = \frac{-2a}{a-1}$, $x_1 x_2 = \frac{a}{a-1}$

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{ax_2^2 + ax_2 - (ax_1^2 + ax_1)}{x_2-x_1} = \frac{a(x_2^2-x_1^2) + a(x_2-x_1)}{x_2-x_1} = a(x_2+x_1)+a = a\frac{-2a}{a-1} + a = \frac{-2a^2+a^2-a}{a-1} = \frac{-a^2-a}{a-1} = \frac{-a(a+1)}{a-1}$

$m = -\frac{a^2+a}{a-1} = -\frac{a^2 - 1 + a + 1}{a-1} = -\frac{(a-1)(a+1) + a+1}{a-1} = -\frac{(a-1)(a+1)}{a-1} - \frac{a+1}{a-1} = -(a+1) - \frac{a-1+2}{a-1} = -a - 1 - 1 - \frac{2}{a-1} = -a - 2 - \frac{2}{a-1} = -(a-1) -3 - \frac{2}{a-1} = -3 - (a-1 + \frac{2}{a-1})$

$a-1>0$ であるから、相加相乗平均の関係より $a-1 + \frac{2}{a-1} \ge 2\sqrt{2}$

よって、$m \le -3 - 2\sqrt{2}$

等号成立は $a-1 = \sqrt{2}$ より、$a = 1 + \sqrt{2}$

$m = \frac{-a(a+1)}{a-1}$

$\frac{dm}{da} = - \frac{(2a+1)(a-1) - (a^2+a)}{(a-1)^2} = - \frac{2a^2-2a+a-1 - a^2-a}{(a-1)^2} = - \frac{a^2 - 2a - 1}{(a-1)^2}$

$\frac{dm}{da} = 0$ のとき、$a^2 - 2a - 1 = 0$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

$a > 1$ より $a = 1 + \sqrt{2}$

$m = -\frac{(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = - \frac{2 + \sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}} = - \frac{4+3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = - \frac{4\sqrt{2}+6}{2} = -2\sqrt{2} - 3$

3. 最終的な答え

(1) $a > 1$

(2) $a = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$m = -3 - 2\sqrt{2}$