以下の4つの複素数の絶対値を求めます。 (1) $3 - 2i$ (2) $(2 - i)(1 - 2i)$ (3) $\frac{2 - i}{2 + i}$ (4) $\frac{3 - 4i}{1 + 2i}$

1. 問題の内容

以下の4つの複素数の絶対値を求めます。

(1) $3 - 2i$

(2) $(2 - i)(1 - 2i)$

(3) $\frac{2 - i}{2 + i}$

(4) $\frac{3 - 4i}{1 + 2i}$

2. 解き方の手順

複素数 $z = a + bi$ の絶対値は $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ で定義されます。

(1) $3 - 2i$ の絶対値

$|3 - 2i| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

(2) $(2 - i)(1 - 2i)$ の絶対値

まず複素数を計算します。

$(2 - i)(1 - 2i) = 2 - 4i - i + 2i^2 = 2 - 5i - 2 = -5i$

$|-5i| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25} = 5$

(3) $\frac{2 - i}{2 + i}$ の絶対値

まず分母を実数化します。

$\frac{2 - i}{2 + i} = \frac{(2 - i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{4 - 4i + i^2}{4 - i^2} = \frac{4 - 4i - 1}{4 + 1} = \frac{3 - 4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

$|\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i| = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (-\frac{4}{5})^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = \sqrt{1} = 1$

(4) $\frac{3 - 4i}{1 + 2i}$ の絶対値

まず分母を実数化します。

$\frac{3 - 4i}{1 + 2i} = \frac{(3 - 4i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{3 - 6i - 4i + 8i^2}{1 - 4i^2} = \frac{3 - 10i - 8}{1 + 4} = \frac{-5 - 10i}{5} = -1 - 2i$

$|-1 - 2i| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{13}$

(2) $5$

(3) $1$

(4) $\sqrt{5}$