漸化式 $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n + 4$ ($n \ge 1$)で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

## 問題の回答

以下に、画像の問題の解答を示します。

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1. 問題の内容

漸化式 $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n + 4$ ($n \ge 1$)で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を $a_{n+1} + \alpha = 3(a_n + \alpha)$ の形に変形します。

$a_{n+1} = 3a_n + 4$ より、$\alpha = 3\alpha + 4$ を解くと、$\alpha = -2$ となります。

よって、$a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$ と変形できます。

$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 3 の等比数列です。

$b_1 = a_1 - 2 = 2 - 2 = 0$ となります。

したがって、$b_n = 0 \cdot 3^{n-1} = 0$

$a_n = b_n + 2 = 0 + 2 = 2$

3. 最終的な答え

$a_n = 2$

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1. 問題の内容

漸化式 $a_1 = 0$, $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ ($n \ge 1$)で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

漸化式の両辺を $3^{n+1}$ で割ります。

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} \frac{a_n}{3^n} + \frac{1}{3}$

$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{2}{3} b_n + \frac{1}{3}$ となります。

この漸化式を $b_{n+1} - \alpha = \frac{2}{3}(b_n - \alpha)$ の形に変形します。

$\alpha = \frac{2}{3}\alpha + \frac{1}{3}$ を解くと、$\alpha = 1$ となります。

よって、$b_{n+1} - 1 = \frac{2}{3}(b_n - 1)$ と変形できます。

$c_n = b_n - 1$ とおくと、$c_{n+1} = \frac{2}{3}c_n$ となり、数列 $\{c_n\}$ は公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列です。

$c_1 = b_1 - 1 = \frac{a_1}{3^1} - 1 = \frac{0}{3} - 1 = -1$ となります。

したがって、$c_n = -1 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} = -(\frac{2}{3})^{n-1}$

$b_n = c_n + 1 = 1 - (\frac{2}{3})^{n-1}$

$a_n = b_n \cdot 3^n = 3^n - 3^n (\frac{2}{3})^{n-1} = 3^n - 3 \cdot 2^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 3^n - 3 \cdot 2^{n-1}$

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1. 問題の内容

漸化式 $a_1 = -1$, $a_{n+1} = a_n + n(n+1)$ ($n \ge 1$)で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

$a_{n+1} - a_n = n(n+1)$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k(k+1) = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + k)$

$= -1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k$

$= -1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2}$

$= -1 + \frac{n(n-1)}{6} \{ (2n-1) + 3 \}$

$= -1 + \frac{n(n-1)(2n+2)}{6} = -1 + \frac{n(n-1)(n+1)}{3}$

$= -1 + \frac{n(n^2 - 1)}{3} = \frac{-3 + n^3 - n}{3} = \frac{n^3 - n - 3}{3}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1^3 - 1 - 3}{3} = -1$ より、この式は $n=1$ でも成立します。

したがって、$a_n = \frac{1}{3}(n^3 - n - 3)$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1}{3}(n^3 - n - 3)$

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1. 問題の内容

漸化式 $a_1 = 6$, $a_{n+1} = 2a_n - 4n + 5$ ($n \ge 1$)で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

$a_{n+1} = 2a_n - 4n + 5$

$a_{n+1} - (p(n+1) + q) = 2(a_n - (pn + q))$ の形を目指す

$a_{n+1} = 2a_n - 4n + 5 = 2(pn + q) - pn - p - q$

$2pn + 2q - pn - p - q = pn + q = -4n + 5$

$p = -4$, $q = 5$

すると、$a_{n+1} - (-4(n+1) + 5) = 2(a_n - (-4n + 5))$

$a_{n+1} + 4n - 1 = 2(a_n + 4n - 5)$

$b_n = a_n + 4n - 5$ とすると、$b_{n+1} = 2b_n$

$b_1 = a_1 + 4(1) - 5 = 6 + 4 - 5 = 5$

$b_n = 5 \cdot 2^{n-1}$

$a_n = b_n - 4n + 5 = 5 \cdot 2^{n-1} - 4n + 5$

3. 最終的な答え

$a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 4n + 5$