複素数 $\alpha = 2 + 3i$ について、以下の値を求めます。 (1) $\alpha + \overline{\alpha}$ (2) $\alpha^2$ (3) $|\alpha|^2$ (4) $\alpha \overline{\alpha}$

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 2 + 3i$ について、以下の値を求めます。

(1) $\alpha + \overline{\alpha}$

(2) $\alpha^2$

(3) $|\alpha|^2$

(4) $\alpha \overline{\alpha}$

2. 解き方の手順

まず、$\alpha$ の共役複素数 $\overline{\alpha}$ を求めます。

$\overline{\alpha} = 2 - 3i$

(1) $\alpha + \overline{\alpha}$ を計算します。

$\alpha + \overline{\alpha} = (2 + 3i) + (2 - 3i) = 2 + 3i + 2 - 3i = 4$

(2) $\alpha^2$ を計算します。

$\alpha^2 = (2 + 3i)^2 = (2 + 3i)(2 + 3i) = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i$

(3) $|\alpha|^2$ を計算します。

$|\alpha|^2 = (2)^2 + (3)^2 = 4 + 9 = 13$

(4) $\alpha \overline{\alpha}$ を計算します。

$\alpha \overline{\alpha} = (2 + 3i)(2 - 3i) = 4 - 6i + 6i - 9i^2 = 4 + 9 = 13$

これは、 $|\alpha|^2$ と同じ値になります。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \overline{\alpha} = 4$

(2) $\alpha^2 = -5 + 12i$

(3) $|\alpha|^2 = 13$

(4) $\alpha \overline{\alpha} = 13$