与えられた式 $a^2b + a - b - 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b + a - b - 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、最初の2項と後ろの2項をそれぞれグループ化します。

$a^2b + a - b - 1 = (a^2b + a) - (b + 1)$

次に、最初のグループから $a$ をくくり出します。

$a(ab + 1) - (b + 1)$

ここで、$ab+1$と$b+1$は共通因数ではないので、別の方法を試します。最初の2項と後ろの2項を別の組み合わせでグループ化します。

$a^2b - b + a - 1 = (a^2b - b) + (a - 1)$

最初のグループから $b$ をくくり出します。

$b(a^2 - 1) + (a - 1)$

$a^2 - 1$ は平方の差なので、$a^2 - 1 = (a + 1)(a - 1)$ と因数分解できます。

$b(a + 1)(a - 1) + (a - 1)$

次に、$a - 1$ をくくり出します。

$(a - 1)[b(a + 1) + 1]$

括弧の中を整理します。

$(a - 1)(ab + b + 1)$

3. 最終的な答え

$(a - 1)(ab + b + 1)$