与えられた多項式 $8x^3 + 12x^2y + 4xy^2 + 6x^2 + 9xy + 3y^2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $8x^3 + 12x^2y + 4xy^2 + 6x^2 + 9xy + 3y^2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、多項式を整理して、因数分解しやすい形に変形します。

多項式を $x$ について整理してみます。

$8x^3 + 12x^2y + 6x^2 + 4xy^2 + 9xy + 3y^2$

$= 8x^3 + (12y+6)x^2 + (4y^2+9y)x + 3y^2$

次に、この多項式が $(ax+by+c)$ という形の因数を持つと仮定し、因数分解を試みます。

与えられた多項式を注意深く観察すると、

$8x^3 + 12x^2y + 4xy^2$ の部分が $(2x+y)^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$ に似ていることがわかります。

$6x^2 + 9xy + 3y^2$ の部分が $3(2x^2+3xy+y^2)$ となり、$3(2x+y)(x+y)$と因数分解できることに気づきます。

$8x^3 + 12x^2y + 4xy^2 + 6x^2 + 9xy + 3y^2 = (2x+y)^2(2x) + 3(2x+y)(x+y) = (2x+y)[ (2x+y)(2x) + 3(x+y)] = (2x+y)[4x^2+2xy+3x+3y]$

元の式を $(2x+y)(4x^2+2xy+3x+3y)$ と予想し、展開して確認します。

$(2x+y)(4x^2+2xy+3x+3y) = 8x^3 + 4x^2y + 6x^2 + 6xy + 4x^2y + 2xy^2 + 3xy + 3y^2 = 8x^3 + 8x^2y + 6x^2 + 9xy + 2xy^2 + 3y^2$

予想が違っていたことがわかります。

次に、与えられた多項式が $(2x+y)$ を因数に持つと仮定して、割り算を実行することを考えます。

しかし、これは複雑になる可能性があるので、他の方法を探します。

与えられた式が、ある式の展開の一部ではないかと考えます。

$8x^3 + 12x^2y + 4xy^2 + 6x^2 + 9xy + 3y^2 = (2x)^3 + 3(2x)^2y +3(2x)(0.66y^2) +y^3$

この式は完全な立方体ではないため、他の手法が必要です。

多項式の係数に着目し、整理すると

$8x^3+12x^2y+4xy^2+6x^2+9xy+3y^2$

$= 4x^2(2x+3y) + y(6xy+3y)$

$8x^3+12x^2y+4xy^2+6x^2+9xy+3y^2 = (2x+y)(4x^2+3x)+3y(1x+y)$

式全体をよく見ると、因数分解できないことがわかります。

3. 最終的な答え

$8x^3 + 12x^2y + 4xy^2 + 6x^2 + 9xy + 3y^2$ （因数分解できない）