与えられた二つの代数方程式を解く問題です。 (1) 3次方程式 $x^3 - x^2 + 12 = 0$ (2) 4次方程式 $6x^4 - 11x^3 + 2x^2 + 5x - 2 = 0$

1. 問題の内容

与えられた二つの代数方程式を解く問題です。

(1) 3次方程式 $x^3 - x^2 + 12 = 0$

(2) 4次方程式 $6x^4 - 11x^3 + 2x^2 + 5x - 2 = 0$

2. 解き方の手順

(1) 3次方程式 $x^3 - x^2 + 12 = 0$を解く

因数定理を用いて、整数解を探します。定数項12の約数($\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$)を代入して、$x^3 - x^2 + 12 = 0$となる$x$を探します。

$x=-2$を代入すると、$(-2)^3 - (-2)^2 + 12 = -8 - 4 + 12 = 0$となるので、$x = -2$は解の一つです。

したがって、$x + 2$は$x^3 - x^2 + 12$の因数となります。

$x^3 - x^2 + 12$を$x + 2$で割ると、$x^2 - 3x + 6$となります。

よって、$x^3 - x^2 + 12 = (x + 2)(x^2 - 3x + 6) = 0$となります。

次に、$x^2 - 3x + 6 = 0$を解きます。

解の公式より、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-15}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{15}}{2}$

(2) 4次方程式 $6x^4 - 11x^3 + 2x^2 + 5x - 2 = 0$を解く

因数定理を用いて、整数解を探します。定数項-2の約数($\pm 1, \pm 2$)を代入して、$6x^4 - 11x^3 + 2x^2 + 5x - 2 = 0$となる$x$を探します。

$x = 1$を代入すると、$6(1)^4 - 11(1)^3 + 2(1)^2 + 5(1) - 2 = 6 - 11 + 2 + 5 - 2 = 0$となるので、$x = 1$は解の一つです。

$x = \frac{1}{2}$を代入すると、$6(\frac{1}{2})^4 - 11(\frac{1}{2})^3 + 2(\frac{1}{2})^2 + 5(\frac{1}{2}) - 2 = \frac{6}{16} - \frac{11}{8} + \frac{2}{4} + \frac{5}{2} - 2 = \frac{3}{8} - \frac{11}{8} + \frac{4}{8} + \frac{20}{8} - \frac{16}{8} = 0$となるので、$x = \frac{1}{2}$は解の一つです。

したがって、$x - 1$と$2x - 1$は$6x^4 - 11x^3 + 2x^2 + 5x - 2$の因数となります。

$(x-1)(2x-1) = 2x^2-3x+1$

$6x^4 - 11x^3 + 2x^2 + 5x - 2$を$2x^2-3x+1$で割ると、$3x^2 - x - 2$となります。

$6x^4 - 11x^3 + 2x^2 + 5x - 2 = (x - 1)(2x - 1)(3x^2 - x - 2) = (x - 1)(2x - 1)(3x + 2)(x - 1) = (x-1)^2(2x-1)(3x+2) = 0$

よって、$x = 1, \frac{1}{2}, -\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -2, \frac{3 \pm i\sqrt{15}}{2}$

(2) $x = 1, \frac{1}{2}, -\frac{2}{3}$