与えられた三角関数の式を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ とします。問題は全部で3つあります。 (1) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ (2) $3\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ (3) $-\sin\theta + \cos\theta$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ とします。問題は全部で3つあります。

(1) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$

(2) $3\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$

(3) $-\sin\theta + \cos\theta$

2. 解き方の手順

三角関数の合成の公式を使用します。

$a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$

ここで、 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$、$\cos\alpha = \frac{a}{r}$、$\sin\alpha = \frac{b}{r}$ です。

(1) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$

$a = 1$, $b = \sqrt{3}$ なので、

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$, $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\alpha = \frac{\pi}{3}$

よって、$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

(2) $3\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$

$a = 3$, $b = -\sqrt{3}$ なので、

$r = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\cos\alpha = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$

よって、$3\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta = 2\sqrt{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$

(3) $-\sin\theta + \cos\theta$

$a = -1$, $b = 1$ なので、

$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$\cos\alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$\alpha = \frac{3\pi}{4}$

よって、$-\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{3\pi}{4})$

3. 最終的な答え

(1) $2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

(2) $2\sqrt{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$

(3) $\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{3\pi}{4})$