$A^2 = O$ （零行列）であるような2次正方行列 $A$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$A^2 = O$ （零行列）であるような2次正方行列 $A$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次正方行列 $A$ を

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

とします。ここで、$a, b, c, d$ は実数です。

$A^2 = A \cdot A$を計算します。

$A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix}$

$A^2 = O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ となるように、$a, b, c, d$ を定めます。

したがって、以下の連立方程式を得ます。

$a^2 + bc = 0$

$ab + bd = b(a+d) = 0$

$ac + cd = c(a+d) = 0$

$bc + d^2 = 0$

(1) $a+d \neq 0$ のとき、$b=0$ かつ $c=0$ となります。

すると、$a^2=0$ かつ $d^2 = 0$ となり、$a=0$ かつ $d=0$ となります。

これは $a+d = 0$ に矛盾するので、$a+d \neq 0$ はありえません。

(2) $a+d = 0$ のとき、$d = -a$ となります。

すると、$a^2 + bc = 0$ かつ $bc + d^2 = bc + a^2 = 0$ となります。

$bc = -a^2$ となるように $b$ と $c$ を選べばよいです。

例えば、$a=0$ の場合、$bc=0$ となればよいので、$b=0$ または $c=0$ となります。

$A = \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ または $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}$ となります。

$a=1$ の場合、$bc = -1$ となればよいので、$b=1$, $c=-1$ とすれば、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ となります。

また、$b=-1$, $c=1$ とすれば、$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$,

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$,

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$,

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

など。

一般的には、$a+d = 0$ かつ $bc = -a^2$ を満たす $a, b, c, d$ を持つ行列

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$ で、$bc = -a^2$ を満たすものが答えとなります。