五角形ABCDEの辺上を点PがAからB,C,Dの順に毎秒1cmの速さで移動します。点PがAを出発してからx秒後の△APEの面積を$y cm^2$とするとき、以下の問いに答えます。 (1) 点PがAを出発してから3秒後の△APEの面積を求めます。 (2) $0 \leqq x \leqq 5$, $5 \leqq x \leqq 13$, $13 \leqq x \leqq 15$のそれぞれの場合について、$y$を$x$の式で表します。 (3) (2)で求めた各場合について、$x$と$y$の関係をグラフで表します。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

五角形ABCDEの辺上を点PがAからB,C,Dの順に毎秒1cmの速さで移動します。点PがAを出発してからx秒後の△APEの面積を$y cm^2$とするとき、以下の問いに答えます。

(1) 点PがAを出発してから3秒後の△APEの面積を求めます。

(2) $0 \leqq x \leqq 5$, $5 \leqq x \leqq 13$, $13 \leqq x \leqq 15$のそれぞれの場合について、$y$を$x$の式で表します。

(3) (2)で求めた各場合について、$x$と$y$の関係をグラフで表します。

2. 解き方の手順

(1) 点PがAを出発してから3秒後は、辺AB上にあります。

APの長さは$3cm$です。

△APEの面積は、底辺をAP、高さをAEと考えると、

$y = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$

したがって、△APEの面積は$6cm^2$です。

(2)

ア. $0 \leqq x \leqq 5$のとき、点Pは辺AB上にあります。

APの長さは$x cm$なので、△APEの面積$y$は、

$y = \frac{1}{2} \times x \times 4 = 2x$

イ. $5 \leqq x \leqq 13$のとき、点Pは辺BC上にあります。

点Aから辺BCに垂線を下ろし、その交点をHとすると、AH = 4 cmです。

したがって、△APEの面積$y$は、

$y = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10$

これは点PがBからCまで移動する間、△APEの面積は一定です。

ウ. $13 \leqq x \leqq 15$のとき、点Pは辺CD上にあります。

点PがCからDまで移動する時の三角形APEの面積を考えると、これは台形AECDから三角形PEDを引いた面積と考えることができます。

点Pの移動距離は$x-13$なので、PDの長さは$2-(x-13) = 15-x$

三角形PEDの面積は$\frac{1}{2}\times(15-x) \times 4 = 2(15-x) = 30-2x$

台形AECDの面積は$\frac{1}{2}\times(5+2)\times 4 = 14$

三角形APEの面積は $14-(30-2x) = 2x-16$

(3)

ア. $y = 2x$ ($0 \leqq x \leqq 5$)

イ. $y = 10$ ($5 \leqq x \leqq 13$)

ウ. $y = 2x-16$ ($13 \leqq x \leqq 15$)

グラフについては、それぞれの範囲において直線を書けば良いです。

$0 \leqq x \leqq 5$のとき、傾き2の直線

$5 \leqq x \leqq 13$のとき、y=10の直線

$13 \leqq x \leqq 15$のとき、傾き2の直線

3. 最終的な答え

(1) 6 $cm^2$

(2)

ア. $y = 2x$ ($0 \leqq x \leqq 5$)

イ. $y = 10$ ($5 \leqq x \leqq 13$)

ウ. $y = 2x-16$ ($13 \leqq x \leqq 15$)

(3) グラフは上記の方程式に基づいて描画します。