## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(1) 2つの定点 $A(2, 0)$ と $B(4, 3)$ からの距離が等しい点 $P$ の軌跡の方程式を求めます。

(2) 放物線 $y = x^2$ 上の2点 $P(a, a^2)$ と $Q(b, b^2)$ が、$b = a + 2$ を満たしながら動くとき、線分 $PQ$ の中点の軌跡の方程式を求め、図示します。

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2. 解き方の手順

**(1) 点 P の軌跡の方程式**

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とします。$AP = BP$ より、$AP^2 = BP^2$ が成り立ちます。

$AP^2 = (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = (x - 2)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 4)^2 + (y - 3)^2$

したがって、

$(x - 2)^2 + y^2 = (x - 4)^2 + (y - 3)^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9$

$-4x + 4 = -8x + 25 - 6y$

$4x + 6y = 21$

これが点 $P$ の軌跡の方程式です。

**(2) 線分 PQ の中点の軌跡の方程式**

線分 $PQ$ の中点を $M(x, y)$ とします。中点の座標は、

$x = \frac{a + b}{2}$

$y = \frac{a^2 + b^2}{2}$

$b = a + 2$ を代入します。

$x = \frac{a + (a + 2)}{2} = \frac{2a + 2}{2} = a + 1$

$y = \frac{a^2 + (a + 2)^2}{2} = \frac{a^2 + a^2 + 4a + 4}{2} = \frac{2a^2 + 4a + 4}{2} = a^2 + 2a + 2$

$a = x - 1$ を $y$ の式に代入します。

$y = (x - 1)^2 + 2(x - 1) + 2 = x^2 - 2x + 1 + 2x - 2 + 2 = x^2 + 1$

したがって、線分 $PQ$ の中点の軌跡の方程式は、$y = x^2 + 1$ です。

*図示について*

グラフを描く場合、$y = x^2 + 1$ は、放物線 $y = x^2$ を $y$ 軸方向に 1 だけ平行移動させたものです。頂点は $(0, 1)$ で、下に凸の放物線となります。

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3. 最終的な答え

(1) $4x + 6y = 21$

(2) $y = x^2 + 1$