2つの円 $x^2 + y^2 - 4 = 0$ と $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 6 = 0$ の交点と点 $(1, 2)$ を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 - 4 = 0$ と $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 6 = 0$ の交点と点 $(1, 2)$ を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

2つの円 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4 = 0$ と $g(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 2y - 6 = 0$ の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて、

$$f(x, y) + kg(x, y) = 0$$

と表すことができる。つまり、

$$x^2 + y^2 - 4 + k(x^2 + y^2 - 4x + 2y - 6) = 0$$

この円が点 $(1, 2)$ を通るので、$x = 1, y = 2$ を代入する。

$$1^2 + 2^2 - 4 + k(1^2 + 2^2 - 4(1) + 2(2) - 6) = 0$$

$$1 + 4 - 4 + k(1 + 4 - 4 + 4 - 6) = 0$$

$$1 + k(-1) = 0$$

$$1 - k = 0$$

$$k = 1$$

したがって、求める円の方程式は、

$$x^2 + y^2 - 4 + 1(x^2 + y^2 - 4x + 2y - 6) = 0$$

$$x^2 + y^2 - 4 + x^2 + y^2 - 4x + 2y - 6 = 0$$

$$2x^2 + 2y^2 - 4x + 2y - 10 = 0$$

$$x^2 + y^2 - 2x + y - 5 = 0$$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 - 2x + y - 5 = 0$