三角形ABCにおいて、AB=6, BC=4, CA=3である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。このとき、BD:DCとAI:IDを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=6, BC=4, CA=3である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。このとき、BD:DCとAI:IDを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用してBD:DCを求める。

次に、内心Iは三角形の角の二等分線の交点であるから、AIは角Aの二等分線である。

角の二等分線の性質より、BD:DC = AB:ACとなる。

したがって、BD:DC = 6:3 = 2:1となる。

次に、AI:IDを求める。

BIとACの交点をEとする。内心Iは角の二等分線の交点であるから、BIは角Bの二等分線である。

チェバの定理より、

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

ここで、AE:EC = BA:BC = 6:4 = 3:2よりCE:EA = 2:3。

また、AF:FB = CA:CB = 3:4よりAF:FB=3:4。

BD:DC = 2:1より、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = 1$

次に、メネラウスの定理を三角形BCDと直線AIにおいて適用する。

$\frac{BA}{AE} \cdot \frac{EI}{ID} \cdot \frac{DC}{CB} = 1$

$\frac{BA}{AE} = \frac{6}{3} = 2$

$\frac{DC}{CB} = \frac{1}{4}$

よって、

$2 \cdot \frac{EI}{ID} \cdot \frac{1}{4} = 1$

$\frac{EI}{ID} = 2$

$EI = 2ID$

メネラウスの定理を三角形ACEと直線BIにおいて適用する。

$\frac{CB}{BD} \cdot \frac{DI}{IA} \cdot \frac{AE}{EC} = 1$

$\frac{4}{2} \cdot \frac{DI}{IA} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$2 \cdot \frac{DI}{IA} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$3 \cdot \frac{DI}{IA} = 1$

$\frac{DI}{IA} = \frac{1}{3}$

$\frac{IA}{DI} = 3$

したがって、AI:ID = 3:1

3. 最終的な答え

BD:DC = 2:1

AI:ID = 3:1