$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ で、$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ のとき、次の値を求めよ。 (1) $\sin \frac{\alpha}{2}$ (2) $\cos \frac{\alpha}{2}$ (3) $\tan \frac{\alpha}{2}$

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ で、$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $\sin \frac{\alpha}{2}$

(2) $\cos \frac{\alpha}{2}$

(3) $\tan \frac{\alpha}{2}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より、$\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$ であることがわかります。

したがって、$\sin \frac{\alpha}{2} > 0$, $\cos \frac{\alpha}{2} > 0$, $\tan \frac{\alpha}{2} > 0$ です。

(1) $\sin \frac{\alpha}{2}$ を求めるために、半角の公式 $\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}$ を利用します。

$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ を代入すると、

$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{9}{5}}{2} = \frac{9}{10}$

$\sin \frac{\alpha}{2} > 0$ より、$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

(2) $\cos \frac{\alpha}{2}$ を求めるために、半角の公式 $\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$ を利用します。

$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ を代入すると、

$\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{2} = \frac{1}{10}$

$\cos \frac{\alpha}{2} > 0$ より、$\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(3) $\tan \frac{\alpha}{2}$ を求めるために、$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}$ を利用します。

$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ より、

$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 3$

または、$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$を利用することもできます。

まず、$\sin \alpha$を求めます。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$より、$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$より、$\sin \alpha > 0$だから、$\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

したがって、

$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{3}{5}}{1 + (-\frac{4}{5})} = \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{5}} = \frac{3}{1} = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

(2) $\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(3) $\tan \frac{\alpha}{2} = 3$