三角形ABCがあり、その3辺の長さはAB=6、BC=4、CA=3です。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとします。このとき、BD:DCとAI:IDを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、その3辺の長さはAB=6、BC=4、CA=3です。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとします。このとき、BD:DCとAI:IDを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) BD:DCを求める。

角の二等分線の性質より、ADは角Aの二等分線であるから、

$BD:DC = AB:AC = 6:3 = 2:1$

(2) AI:IDを求める。

メネラウスの定理より、三角形BCDと直線AIにおいて、

$\frac{BA}{AC} \times \frac{CI}{ID} \times \frac{DB}{BC} = 1$

これに、$\frac{AB}{AC} = \frac{6}{3} = 2$、$BD:DC=2:1$より、$BD = \frac{2}{3} BC = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3}$だから$\frac{BD}{BC}=\frac{8/3}{4} = \frac{2}{3}$を代入すると、

$2 \times \frac{CI}{ID} \times \frac{2}{3} = 1$

$\frac{AI}{ID} = \frac{3}{4}$

したがって、$AI:ID = 3:4$

3. 最終的な答え

$BD:DC = 2:1$

$AI:ID = 3:1$