与えられた不等式 $x^2 + y^2 \le 4$ と $y - \sqrt{3}x \le -2$ をともに満たす領域を図示し、その面積を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $x^2 + y^2 \le 4$ と $y - \sqrt{3}x \le -2$ をともに満たす領域を図示し、その面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 \le 4$ は、中心が原点 $(0,0)$ で半径が $2$ の円の内部（境界を含む）を表す。

(2) $y - \sqrt{3}x \le -2$ は、直線 $y = \sqrt{3}x - 2$ の下側（境界を含む）を表す。

(3) 2つの不等式を満たす領域は、円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = \sqrt{3}x - 2$ で囲まれた領域である。

(4) 円と直線の交点を求める。

$x^2 + (\sqrt{3}x - 2)^2 = 4$

$x^2 + 3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 4$

$4x^2 - 4\sqrt{3}x = 0$

$4x(x - \sqrt{3}) = 0$

よって $x = 0$ または $x = \sqrt{3}$.

$x = 0$ のとき $y = -2$ であり、交点は $(0, -2)$.

$x = \sqrt{3}$ のとき $y = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2 = 3 - 2 = 1$ であり、交点は $(\sqrt{3}, 1)$.

(5) 原点から直線 $y = \sqrt{3}x - 2$ までの距離は、

$\frac{|0 - \sqrt{3}(0) + 2|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{2}{2} = 1$.

したがって、直線は円の中心から距離が 1 の位置にある。

(6) 領域の面積を求める。円の中心を O、交点を A, B とする。$\angle AOB = \theta$ とすると、

$OA = OB = 2$, $AB = \sqrt{(\sqrt{3}-0)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

余弦定理より、

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 + 2^2 - 2(2)(2) \cos\theta$

$12 = 8 - 8 \cos\theta$

$4 = -8 \cos\theta$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$

よって $\theta = \frac{2\pi}{3}$.

したがって、扇形 OAB の面積は $\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2}(2^2) (\frac{2\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3}$.

また、三角形 OAB の面積は $\frac{1}{2} (2)(2) \sin\frac{2\pi}{3} = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}$.

求める領域の面積は、扇形 OAB の面積から三角形 OAB の面積を引いたものである。

領域の面積 $= \frac{4\pi}{3} + \sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

$\frac{4\pi}{3} + \sqrt{3}$