2つの円 $x^2 + y^2 - 4 = 0$ と $x^2 + y^2 + 2x + 4y = 0$ の交点と点 $(1, 0)$ を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 - 4 = 0$ と $x^2 + y^2 + 2x + 4y = 0$ の交点と点 $(1, 0)$ を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

2つの円 $x^2 + y^2 - 4 = 0$ と $x^2 + y^2 + 2x + 4y = 0$ の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて

$x^2 + y^2 + 2x + 4y + k(x^2 + y^2 - 4) = 0$

と表せる。

この円が点 $(1, 0)$ を通るので、$x = 1$、$y = 0$ を代入すると

$1^2 + 0^2 + 2(1) + 4(0) + k(1^2 + 0^2 - 4) = 0$

$1 + 2 + k(1 - 4) = 0$

$3 - 3k = 0$

$k = 1$

したがって、求める円の方程式は

$x^2 + y^2 + 2x + 4y + (x^2 + y^2 - 4) = 0$

$2x^2 + 2y^2 + 2x + 4y - 4 = 0$

$x^2 + y^2 + x + 2y - 2 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 + x + 2y - 2 = 0$