三角形ABCにおいて、$AB=6$, $BC=4$, $CA=3$である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。このとき、$BD:DC$と$AI:ID$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=6$, $BC=4$, $CA=3$である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。このとき、$BD:DC$と$AI:ID$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$BD:DC$を求める。角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 6:3 = 2:1$

次に、$AI:ID$を求める。

三角形ABCにおいて、角Aの二等分線と辺BCの交点がDであるから、

$BD:DC = AB:AC = 6:3 = 2:1$

したがって、$BD = BC \times \frac{2}{2+1} = 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

ここで、三角形ABDにおいて、BIは角Bの二等分線であるから、

$AI:ID = BA:BD = 6 : \frac{8}{3} = 18:8 = 9:4$

3. 最終的な答え

$BD:DC = 2:1$

$AI:ID = 9:4$