1. 問題の内容
(1) 点Oは三角形ABCの外心であるとき、角xと角yの値を求めよ。
(2) 点Iは三角形ABCの内心であるとき、角xと角yの値を求めよ。
2. 解き方の手順
(1)
点Oが三角形ABCの外心なので、OA=OB=OCとなる。
三角形OABにおいて、OA=OBなので、角OAB=角OBA=23°
三角形OACにおいて、OA=OCなので、角OAC=角OCA=34°
よって、角BAC = 角OAB + 角OAC = 23° + 34° = 57°
円周角の定理より、角BOC = 2 * 角BAC = 2 * 57° = 114°
三角形OBCにおいて、OB=OCなので、角OBC=角OCB
角OBC + 角OCB + 角BOC = 180°
2 * 角OBC + 114° = 180°
2 * 角OBC = 66°
角OBC = 33°
したがって、x = 33°
また、y = 角OAB + 角OAC = 23° + 34° = 57°
(2)
点Iが三角形ABCの内心なので、BIとCIはそれぞれ角Bと角Cの二等分線である。
角ABC = 2 * 26° = 52°
三角形ABCにおいて、角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°
80° + 52° + 角ACB = 180°
角ACB = 48°
よって、x = 角ICB = 角ACB / 2 = 48° / 2 = 24°
三角形IBCにおいて、角IBC + 角ICB + 角BIC = 180°
26° + 24° + y = 180°
y = 180° - 50° = 130°
したがって、x=24°, y=130°
3. 最終的な答え
(1) x = 33°, y = 57°
(2) x = 24°, y = 130°