一辺の長さが2である正八面体ABCDEFを、直線AFを軸として1回転させる。(1)正八面体の内部が通過する部分の体積を求める。(2)正八面体の面が通過する部分の体積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2である正八面体ABCDEFを、直線AFを軸として1回転させる。(1)正八面体の内部が通過する部分の体積を求める。(2)正八面体の面が通過する部分の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正八面体の内部が通過する部分の体積は、回転軸からの距離が最も遠い点である点D, 点Bが回転してできる円の半径によって決まる。この半径は、正方形BCDEの一辺の長さに等しく、2である。AFを軸とした回転体は、2つの合同な円錐を底面同士で貼り合わせた形になる。円錐の高さはAFの半分の長さとなる。

AFの長さは、正八面体が正方形BCDEを挟むように上下に正四角錐を組み合わせた立体であることから、$\sqrt{2} \times$ 正方形の一辺の長さとなるので、$2\sqrt{2}$。よって円錐の高さは$\sqrt{2}$。

円錐の体積は $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$で計算される。

ここで$r=2$, $h=\sqrt{2}$を代入すると、

$V = \frac{1}{3}\pi (2^2) \sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}\pi$。

回転体の体積は円錐2つ分の体積なので、

$2V = \frac{8\sqrt{2}}{3}\pi$。

(2) 正八面体の面が通過する部分の体積は、(1)で求めた回転体の体積に、正八面体の体積を加える必要がある。正八面体の体積は、正四角錐2つ分の体積として求められる。

正四角錐の底面積は$2 \times 2 = 4$。高さは$\sqrt{2}$。

正四角錐の体積は$V = \frac{1}{3}Ah = \frac{1}{3} \times 4 \times \sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

正八面体の体積は、正四角錐2つ分の体積なので、$2V = \frac{8\sqrt{2}}{3}$。

正八面体の面が通過する部分の体積は、回転体の体積と正八面体の体積を足し合わせることで求められる。

$\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi + \frac{8\sqrt{2}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}(\pi+1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi$

(2) $\frac{8\sqrt{2}}{3}(\pi+1)$