2つの直線がなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とします。 (1) $y = \frac{3}{2}x + 1$と$y = -5x + 2$ (2) $y = -x$と$y = (2 + \sqrt{3})x$

1. 問題の内容

2つの直線がなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とします。

(1) $y = \frac{3}{2}x + 1$と$y = -5x + 2$

(2) $y = -x$と$y = (2 + \sqrt{3})x$

2. 解き方の手順

2直線のなす角の公式を使用します。2直線の傾きをそれぞれ$m_1$, $m_2$とすると、なす角$\theta$について以下の式が成り立ちます。

$\tan{\theta} = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|$

(1) の場合、$m_1 = \frac{3}{2}$、$m_2 = -5$なので、

$\tan{\theta} = \left| \frac{\frac{3}{2} - (-5)}{1 + \frac{3}{2} \times (-5)} \right| = \left| \frac{\frac{13}{2}}{-\frac{13}{2}} \right| = |-1| = 1$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$より、$\theta = \frac{\pi}{4}$

(2) の場合、$m_1 = -1$, $m_2 = 2 + \sqrt{3}$なので、

$\tan{\theta} = \left| \frac{-1 - (2 + \sqrt{3})}{1 + (-1)(2 + \sqrt{3})} \right| = \left| \frac{-3 - \sqrt{3}}{1 - 2 - \sqrt{3}} \right| = \left| \frac{-3 - \sqrt{3}}{-1 - \sqrt{3}} \right| = \left| \frac{3 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \right| = \left| \frac{(3 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} \right| = \left| \frac{3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3}{1 - 3} \right| = \left| \frac{-2\sqrt{3}}{-2} \right| = \sqrt{3}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{3}$