(3) 図のような直方体において、$AB = 8, AD = 6, AE = 6$ である。$\triangle BDE$ の面積と、点 $A$ から平面 $BDE$ へ引いた垂線の長さを求める。

1. 問題の内容

(3) 図のような直方体において、$AB = 8, AD = 6, AE = 6$ である。$\triangle BDE$ の面積と、点 $A$ から平面 $BDE$ へ引いた垂線の長さを求める。

2. 解き方の手順

$\triangle BDE$ の面積を求める。

まず、$BD, DE, EB$ の長さを計算する。

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$

$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

$EB = \sqrt{AE^2 + AB^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

$\triangle BDE$ は $BD=EB$ の二等辺三角形である。$\triangle BDE$ の面積を $S$ とすると、ヘロンの公式より、

$s = \frac{10 + 10 + 6\sqrt{2}}{2} = 10 + 3\sqrt{2}$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(10+3\sqrt{2})(3\sqrt{2})(3\sqrt{2})(10-3\sqrt{2})} = \sqrt{(100 - 18)(18)} = \sqrt{82 \times 18} = \sqrt{1476} = 6\sqrt{41}$

または、点 $B$ から $DE$ に垂線を引き、その足を $M$ とすると、$DM = ME = 3\sqrt{2}$。

$BM = \sqrt{BD^2 - DM^2} = \sqrt{100 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 - 18} = \sqrt{82}$

$S = \frac{1}{2} \times DE \times BM = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} \times \sqrt{82} = 3\sqrt{164} = 6\sqrt{41}$

次に、点 $A$ から平面 $BDE$ への垂線の長さを求める。

四面体 $ABDE$ の体積を $V$ とすると、

$V = \frac{1}{3} \times \triangle ADE \times AB = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \times AD \times AE) \times AB = \frac{1}{6} \times 6 \times 6 \times 8 = 48$

$V = \frac{1}{3} \times \triangle BDE \times h$ ($h$ は点 $A$ から平面 $BDE$ への垂線の長さ)

$48 = \frac{1}{3} \times 6\sqrt{41} \times h$

$144 = 6\sqrt{41}h$

$h = \frac{24}{\sqrt{41}} = \frac{24\sqrt{41}}{41}$

3. 最終的な答え

$\triangle BDE$ の面積は $6\sqrt{41}$ である。

点 $A$ から平面 $BDE$ へ引いた垂線の長さは $\frac{24\sqrt{41}}{41}$ である。