問題は、直方体における三角形BDEの面積と、点Aから平面BDEに下ろした垂線の長さを求めるものです。直方体の各辺の長さは、AB=8, AD=6, AE=6と与えられています。

1. 問題の内容

問題は、直方体における三角形BDEの面積と、点Aから平面BDEに下ろした垂線の長さを求めるものです。直方体の各辺の長さは、AB=8, AD=6, AE=6と与えられています。

2. 解き方の手順

(1) 三角形BDEの面積を求める。

三角形BDEは、底面をBE、高さをBDと見なすことができる。

BEの長さは、三平方の定理より $BE = \sqrt{AE^2 + AB^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。

BDの長さは、三平方の定理より $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$。

DEの長さは、三平方の定理より $DE = \sqrt{AE^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。

三角形BDEは、3辺の長さが10, 10, $6\sqrt{2}$の二等辺三角形である。

ヘロンの公式を利用して三角形の面積を求める。

$s = \frac{10+10+6\sqrt{2}}{2} = 10 + 3\sqrt{2}$

$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(10+3\sqrt{2})(3\sqrt{2})(3\sqrt{2})(10-3\sqrt{2})} = \sqrt{(100-18)(18)} = \sqrt{82 \times 18} = \sqrt{1476} = 6 \sqrt{41}$

あるいは、点BからDEに垂線を下ろすと、DEの中点をMとすると、BMは高さになる。

DMの長さは$3\sqrt{2}$なので、BMの長さは$\sqrt{100 - 18} = \sqrt{82}$。

三角形BDEの面積は $\frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} \times \sqrt{82} = 3\sqrt{164} = 6\sqrt{41}$。

従って、三角形BDEの面積は$6\sqrt{41}$。

(2) 点Aから平面BDEへ引いた垂線の長さを求める。

直方体の体積Vは $8 \times 6 \times 6 = 288$。

四面体ABDEの体積は、直方体の体積から他の四面体の体積を引いて求める。

V=1/3 x 面積BDE x h (hはAからの垂線の長さ)

よって、Aから平面BDEへの垂線の長さは、$h = \frac{3V}{\text{面積BDE}} = \frac{3 \times (1/6) \times 288}{6\sqrt{41}} = \frac{144}{6\sqrt{41}} = \frac{24}{\sqrt{41}} = \frac{24\sqrt{41}}{41}$。

3. 最終的な答え

三角形BDEの面積は、$6\sqrt{41}$。

点Aから平面BDEへ引いた垂線の長さは、$\frac{24\sqrt{41}}{41}$。