(1) $\sin 75^\circ + \sin 120^\circ - \cos 150^\circ + \cos 165^\circ$ の値を求める。 (2) $\triangle ABC$ において、$BC = 8$, $AC = 6$, $AB = 7$ であるとき、$\cos B$ の値と $\triangle ABC$ の外接円の半径の長さを求める。

1. 問題の内容

(1) $\sin 75^\circ + \sin 120^\circ - \cos 150^\circ + \cos 165^\circ$ の値を求める。

(2) $\triangle ABC$ において、$BC = 8$, $AC = 6$, $AB = 7$ であるとき、$\cos B$ の値と $\triangle ABC$ の外接円の半径の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin 75^\circ + \sin 120^\circ - \cos 150^\circ + \cos 165^\circ$ を計算する。

$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = - \cos 30^\circ = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 165^\circ = \cos(180^\circ - 15^\circ) = -\cos 15^\circ = - \cos(45^\circ - 30^\circ) = - (\cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ) = -(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

したがって、

$\sin 75^\circ + \sin 120^\circ - \cos 150^\circ + \cos 165^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \left( - \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \sqrt{3}$

(2) $\triangle ABC$ において、$BC = a = 8$, $AC = b = 6$, $AB = c = 7$ であるとき、余弦定理より

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$36 = 64 + 49 - 2(8)(7) \cos B$

$36 = 113 - 112 \cos B$

$112 \cos B = 113 - 36 = 77$

$\cos B = \frac{77}{112} = \frac{11}{16}$

正弦定理より、外接円の半径を $R$ とすると、

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ より

$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B = 1 - \left(\frac{11}{16}\right)^2 = 1 - \frac{121}{256} = \frac{256 - 121}{256} = \frac{135}{256}$

$\sin B = \sqrt{\frac{135}{256}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 15}}{16} = \frac{3 \sqrt{15}}{16}$

$2R = \frac{6}{\frac{3 \sqrt{15}}{16}} = \frac{6 \cdot 16}{3 \sqrt{15}} = \frac{2 \cdot 16}{\sqrt{15}} = \frac{32}{\sqrt{15}} = \frac{32 \sqrt{15}}{15}$

$R = \frac{16 \sqrt{15}}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}$

(2) $\cos B = \frac{11}{16}$, 外接円の半径 $R = \frac{16 \sqrt{15}}{15}$