$m$を実数とする。放物線 $y = x^2 - 4x + 4$ (①) と直線 $y = mx - m + 2$ (②) について、以下の問いに答えます。 (1) 直線②が $m$ の値にかかわらず通る定点を求めます。 (2) 放物線①と直線②が異なる2点で交わることを示します。 (3) 放物線①と直線②の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とするとき、①と②で囲まれた部分の面積 $S$ を $\alpha, \beta$ で表します。

1. 問題の内容

$m$を実数とする。放物線 $y = x^2 - 4x + 4$ (①) と直線 $y = mx - m + 2$ (②) について、以下の問いに答えます。

(1) 直線②が $m$ の値にかかわらず通る定点を求めます。

(2) 放物線①と直線②が異なる2点で交わることを示します。

(3) 放物線①と直線②の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とするとき、①と②で囲まれた部分の面積 $S$ を $\alpha, \beta$ で表します。

2. 解き方の手順

(1) 直線②の式を $m$ について整理します。

$y = mx - m + 2$

$y = m(x - 1) + 2$

$m$ の値にかかわらずこの式が成り立つのは、$x - 1 = 0$ かつ $y = 2$ のときです。

したがって、$x = 1$ のとき、$y = 2$ となり、定点の座標は $(1, 2)$ となります。

(2) 放物線①と直線②の交点の $x$ 座標は、

$x^2 - 4x + 4 = mx - m + 2$

$x^2 - (4 + m)x + (2 + m) = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = (4 + m)^2 - 4(2 + m) = 16 + 8m + m^2 - 8 - 4m = m^2 + 4m + 8 = (m + 2)^2 + 4$

$D = (m + 2)^2 + 4 > 0$ より、$D > 0$ なので、異なる2点で交わることが示されました。

(3) 面積 $S$ は、

$S = \int_{\alpha}^{\beta} \{ (mx - m + 2) - (x^2 - 4x + 4) \} dx$

$S = \int_{\alpha}^{\beta} \{ -x^2 + (m + 4)x - (m + 2) \} dx$

$S = - \int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - (m + 4)x + (m + 2)) dx$

$x^2 - (m + 4)x + (m + 2) = (x - \alpha)(x - \beta)$ であるから

$S = - \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx$

$S = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$

3. 最終的な答え

(1) 定点の座標： $(1, 2)$

(2) $D = (m+2)^2 + 4 > 0$ より異なる2点で交わる。

(3) $S = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$