ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ が与えられており、これらのベクトルの成分が $\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix}$ である。 以下のベクトルを成分で計算し、図の点①～⑧を始点として、計算したベクトルを図示する問題。 ① $\frac{1}{2}\vec{a}$ ② $-2\vec{b}$ ③ $\vec{a} + \vec{b}$ ④ $\vec{a} - \vec{b}$ ⑤ $-\frac{1}{2}\vec{c}$ ⑥ $\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$ ⑦ $\vec{b} - \vec{a}$ ⑧ $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ が与えられており、これらのベクトルの成分が $\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix}$ である。

以下のベクトルを成分で計算し、図の点①～⑧を始点として、計算したベクトルを図示する問題。

① $\frac{1}{2}\vec{a}$

② $-2\vec{b}$

③ $\vec{a} + \vec{b}$

④ $\vec{a} - \vec{b}$

⑤ $-\frac{1}{2}\vec{c}$

⑥ $\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$

⑦ $\vec{b} - \vec{a}$

⑧ $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

2. 解き方の手順

各ベクトルを成分ごとに計算する。

① $\frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

② $-2\vec{b} = -2\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \end{pmatrix}$

③ $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \end{pmatrix}$

④ $\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

⑤ $-\frac{1}{2}\vec{c} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

⑥ $\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$

⑦ $\vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -5 \end{pmatrix}$

⑧ $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

① $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

② $\begin{pmatrix} -6 \\ 6 \end{pmatrix}$

③ $\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \end{pmatrix}$

④ $\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

⑤ $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

⑥ $\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$

⑦ $\begin{pmatrix} -1 \\ -5 \end{pmatrix}$

⑧ $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$