ベクトル $a = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$、 $b = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$、 $c = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、次のベクトル演算を計算する問題です。 (1) $\|b\|$ (2) 問題文に記載なし (3) $3a + 2b$ (4) $\frac{1}{3}b - 2c$ (5) $4a - b + 2c$ (6) $\|3a + 2c\|$ (7) $a \cdot b$ (8) $c \cdot b$ (9) $(b+c) \cdot a$ (10) $(a+c) \cdot (c-a)$

1. 問題の内容

ベクトル $a = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$、 $b = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$、 $c = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、次のベクトル演算を計算する問題です。

(1) $\|b\|$

(2) 問題文に記載なし

(3) $3a + 2b$

(4) $\frac{1}{3}b - 2c$

(5) $4a - b + 2c$

(6) $\|3a + 2c\|$

(7) $a \cdot b$

(8) $c \cdot b$

(9) $(b+c) \cdot a$

(10) $(a+c) \cdot (c-a)$

2. 解き方の手順

(1) $\|b\|$ の計算

ベクトルの大きさ（ノルム）は、各成分の二乗の和の平方根で計算します。

$\|b\| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

(2) 問題文に記載なし

(3) $3a + 2b$ の計算

$3a = 3\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}$

$2b = 2\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}$

$3a + 2b = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \end{pmatrix}$

(4) $\frac{1}{3}b - 2c$ の計算

$\frac{1}{3}b = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$2c = 2\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix}$

$\frac{1}{3}b - 2c = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-6) \\ 1 - (-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix}$

(5) $4a - b + 2c$ の計算

$4a = 4\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix}$

$2c = 2\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix}$

$4a - b + 2c = \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 3 - 6 \\ -4 - 3 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -15 \end{pmatrix}$

(6) $\|3a + 2c\|$ の計算

$3a = 3\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}$

$2c = 2\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix}$

$3a + 2c = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -11 \end{pmatrix}$

$\|3a + 2c\| = \sqrt{0^2 + (-11)^2} = \sqrt{121} = 11$

(7) $a \cdot b$ の計算

$a \cdot b = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = (2)(3) + (-1)(3) = 6 - 3 = 3$

(8) $c \cdot b$ の計算

$c \cdot b = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = (-3)(3) + (-4)(3) = -9 - 12 = -21$

(9) $(b+c) \cdot a$ の計算

$b + c = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

$(b+c) \cdot a = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = (0)(2) + (-1)(-1) = 0 + 1 = 1$

(10) $(a+c) \cdot (c-a)$ の計算

$a+c = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -5 \end{pmatrix}$

$c-a = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix}$

$(a+c) \cdot (c-a) = \begin{pmatrix} -1 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix} = (-1)(-5) + (-5)(-3) = 5 + 15 = 20$

3. 最終的な答え

(1) $\|b\| = 3\sqrt{2}$

(2) 問題文に記載なし

(3) $3a + 2b = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \end{pmatrix}$

(4) $\frac{1}{3}b - 2c = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix}$

(5) $4a - b + 2c = \begin{pmatrix} -1 \\ -15 \end{pmatrix}$

(6) $\|3a + 2c\| = 11$

(7) $a \cdot b = 3$

(8) $c \cdot b = -21$

(9) $(b+c) \cdot a = 1$

(10) $(a+c) \cdot (c-a) = 20$