与えられた式 $(x+y-z)(x-y+z)$ を展開し、簡略化すること。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y-z)(x-y+z)$ を展開し、簡略化すること。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $(x+y-z)(x-y+z)$ を展開します。

$x+y-z$ を $A$、$x-y+z$ を $B$ とおくと、$AB=(x+y-z)(x-y+z)=x(x-y+z) + y(x-y+z) - z(x-y+z)$.

分配法則を用いて、それぞれの項を展開します。

$x(x-y+z) = x^2 - xy + xz$

$y(x-y+z) = xy - y^2 + yz$

$-z(x-y+z) = -xz + yz - z^2$

展開した項をまとめます。

$x^2 - xy + xz + xy - y^2 + yz - xz + yz - z^2$

同類項を整理します。

$x^2 - y^2 - z^2 + 2yz$

したがって、 $(x+y-z)(x-y+z) = x^2 - y^2 - z^2 + 2yz = x^2 - (y^2 - 2yz + z^2) = x^2 - (y-z)^2$.

3. 最終的な答え

$x^2 - (y-z)^2$

あるいは

$x^2 - y^2 - z^2 + 2yz$