与えられた式 $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

式を展開するために、まず $(a+b+c)$ の各項を $(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ の各項に乗算します。

$a(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-ca^2$

$b(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc$

$c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^2c+b^2c+c^3-abc-bc^2-ac^2$

次に、これらの結果を合計します。

$(a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-ca^2)+(a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc)+(a^2c+b^2c+c^3-abc-bc^2-ac^2)$

項を整理して同類項をまとめます。

$a^3+b^3+c^3+(ab^2-ab^2)+(ac^2-ac^2)+(-a^2b+a^2b)+(-abc-abc-abc)+(ca^2-ca^2)+(bc^2-bc^2)+(b^2c-b^2c)$

これにより、式は以下のように簡略化されます。

$a^3+b^3+c^3-3abc$

3. 最終的な答え

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$