次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 4$ (2) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 3a_n$ (3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 2n - 3$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 4$

(2) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 3a_n$

(3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 2n - 3$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = a_n + 4$ より、この数列は公差4の等差数列である。

初項は $a_1 = 2$ なので、一般項は

$a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)4 = 2 + 4n - 4 = 4n - 2$

(2) $a_{n+1} = 3a_n$ より、この数列は公比3の等比数列である。

初項は $a_1 = 5$ なので、一般項は

$a_n = a_1 r^{n-1} = 5 \cdot 3^{n-1}$

(3) $a_{n+1} = a_n + 2n - 3$ より、階差数列を $b_n$ とすると、$b_n = a_{n+1} - a_n = 2n - 3$ である。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 3)$

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k - 3) = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - 3 \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - 3(n-1) = n(n-1) - 3(n-1) = (n-1)(n-3) = n^2 - 4n + 3$

よって、$a_n = 1 + n^2 - 4n + 3 = n^2 - 4n + 4 = (n-2)^2$

$n=1$ のとき、$a_1 = (1-2)^2 = 1$ となり、これは与えられた条件 $a_1 = 1$ と一致する。

したがって、$n \ge 1$ において $a_n = (n-2)^2$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 4n - 2$

(2) $a_n = 5 \cdot 3^{n-1}$

(3) $a_n = (n-2)^2$