$xy$ 平面上に点 $A(0,2)$ と点 $B(0,3)$ がある。線分 $AB$ をゴールとし、半直線 $y=x$ ($x>0$) 上を動く選手の位置を $P(t,t)$ ($t>0$) とする。選手から見えるゴールの角度 $\angle APB$ を $\theta$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\tan \theta$ を $t$ を用いて表す。 (2) $\theta$ が最大となるときに選手がシュートするとき、その選手の座標を求める。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上に点 $A(0,2)$ と点 $B(0,3)$ がある。線分 $AB$ をゴールとし、半直線 $y=x$ ($x>0$) 上を動く選手の位置を $P(t,t)$ ($t>0$) とする。選手から見えるゴールの角度 $\angle APB$ を $\theta$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\tan \theta$ を $t$ を用いて表す。

(2) $\theta$ が最大となるときに選手がシュートするとき、その選手の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\tan \theta$ を求める。$\angle APB = \theta$ なので、$\theta = \angle APB = \angle BPA$ である。

ここで、$\angle APX = \alpha$, $\angle BPX = \beta$ とすると、$\theta = \beta - \alpha$ となる。

したがって、$\tan \theta = \tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1+\tan \alpha \tan \beta}$ となる。

$\tan \alpha = \frac{t}{t-2}$, $\tan \beta = \frac{t}{t-3}$ なので、

$\tan \theta = \frac{\frac{t}{t-3} - \frac{t}{t-2}}{1+\frac{t}{t-3}\frac{t}{t-2}} = \frac{t(t-2) - t(t-3)}{(t-3)(t-2) + t^2} = \frac{t^2-2t - t^2 + 3t}{t^2 - 5t + 6 + t^2} = \frac{t}{2t^2 - 5t + 6}$

(2) $\theta$ が最大となるのは $\tan \theta$ が最大となるときである。$f(t) = \tan \theta = \frac{t}{2t^2-5t+6}$ とおくと、

$f'(t) = \frac{(2t^2-5t+6) - t(4t-5)}{(2t^2-5t+6)^2} = \frac{2t^2-5t+6-4t^2+5t}{(2t^2-5t+6)^2} = \frac{-2t^2+6}{(2t^2-5t+6)^2}$

$f'(t) = 0$ となるのは、$-2t^2+6 = 0$ のときなので、$t^2 = 3$, $t = \pm \sqrt{3}$

$t > 0$ より、$t = \sqrt{3}$

$t < \sqrt{3}$ のとき $f'(t) > 0$, $t > \sqrt{3}$ のとき $f'(t) < 0$ なので、$t=\sqrt{3}$ で $\tan \theta$ が最大となる。

よって、選手の位置は $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

(1) $\tan \theta = \frac{t}{2t^2-5t+6}$

(2) $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$