4人でじゃんけんをする問題です。 (2) 2回目のじゃんけんの後、各生徒が勝ち残っている確率、および2人だけが勝ち残っている確率と生徒の人数の期待値を求めます。 (3) 3回目のじゃんけんの後、特定の生徒の勝ち残りに関する確率を求めます。

はい、承知いたしました。問題文の空欄を埋めます。

1. 問題の内容

4人でじゃんけんをする問題です。

(2) 2回目のじゃんけんの後、各生徒が勝ち残っている確率、および2人だけが勝ち残っている確率と生徒の人数の期待値を求めます。

(3) 3回目のじゃんけんの後、特定の生徒の勝ち残りに関する確率を求めます。

2. 解き方の手順

(2)

* 1回のじゃんけんで誰か1人が勝つ確率は1/3です。あいこになる確率は1/3です。

* 太郎さんが勝ち残る確率は、太郎さんが勝つか、あいこになる確率なので、$1/3 + 1/3 = 2/3$です。つまりカ=2、キ=3。

* 太郎さんが勝ち残っていない確率は、$1 - 2/3 = 1/3$です。つまりク=1、ケ=3。

* 同様に、花子さんが勝ち残る確率は$2/3$。月子さんが勝ち残っていない確率は$1/3$。

* 太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残る確率は、$2/3 * 2/3 * 1/3 * 1/3 = 4/81 = 4/3^4$です。問題では$3^8$なので、$4/81 = コサ/3^8$。$4/3^4 = コサ/3^8$より、$コサ = 4 * 3^4 = 4 * 81 = 324$。

* 2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値は、$4 * (2/3) = 8/3$なので、シ=8、ス=3。

(3)

* 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は、($2/3$)^3 = $8/27$。つまり、セ=8、ソタ=27。

* 太郎さんと花子の少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子の少なくとも一方が勝ち残っている確率を求めます。太郎さんと花子が両方負ける確率は$1/3 * 1/3 = 1/9$。次郎さんと月子が両方負ける確率は$1/3 * 1/3 = 1/9$。したがって、太郎さんと花子の少なくとも一方が勝ち残っている確率は$1 - 1/9 = 8/9$。次郎さんと月子の少なくとも一方が勝ち残っている確率は$1 - 1/9 = 8/9$。したがって、求める確率は$(8/9)^3 = 512/729 = 512/3^6$。問題では分母が$3^{12}$なので、$512/3^6 = チツテト/3^{12}$。よって、$チツテト = 512 * 3^6 = 512 * 729 = 372768$。

3. 最終的な答え

(2)

カ/キ = 2/3

ク/ケ = 1/3

コサ/3^8 = 324/3^8

シ/ス = 8/3

(3)

セ/ソタ = 8/27

チツテト/3^12 = 372768/3^12