5人の人がそれぞれ自分の名刺を持っている。この5人が1枚ずつ名刺を取るとき、ちょうど1人だけが自分の名刺を取るような取り方は何通りあるか。

1. 問題の内容

5人の人がそれぞれ自分の名刺を持っている。この5人が1枚ずつ名刺を取るとき、ちょうど1人だけが自分の名刺を取るような取り方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、誰が自分の名刺を取るかを選ぶ。これは5人の中から1人を選ぶので、${}_5 \mathrm{C}_1 = 5$ 通りある。

次に、残りの4人は誰も自分の名刺を取らないように名刺を取る必要がある。これは完全順列の問題である。

4人の完全順列の数を $D_4$ とすると、

$D_4 = 4! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right) = 24 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right) = 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right) = 9$ 通りとなる。

したがって、ちょうど1人だけが自分の名刺を取るような取り方は、

$5 \times 9 = 45$ 通りである。

3. 最終的な答え

45通り