10人の学生を以下の条件でグループ分けする方法が何通りあるか答える問題です。 (1) 7人と3人の2つのグループに分ける。 (2) 5人、3人、2人の3つのグループに分ける。 (3) 4人、3人、3人の3つのグループに分ける。 (4) 4人、2人、2人、2人の4つのグループに分ける。

1. 問題の内容

10人の学生を以下の条件でグループ分けする方法が何通りあるか答える問題です。

(1) 7人と3人の2つのグループに分ける。

(2) 5人、3人、2人の3つのグループに分ける。

(3) 4人、3人、3人の3つのグループに分ける。

(4) 4人、2人、2人、2人の4つのグループに分ける。

2. 解き方の手順

(1) 7人と3人のグループに分ける場合：

10人の中から7人を選ぶ組み合わせを計算すれば、残りの3人は自動的に決まります。組み合わせの数は、

$_{10}C_7 = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(2) 5人、3人、2人のグループに分ける場合：

10人から5人を選び、残りの5人から3人を選び、最後に残った2人から2人を選ぶ組み合わせを計算します。

$\frac{10!}{5!3!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 \times 7 \times 3 = 2520$

(3) 4人、3人、3人のグループに分ける場合：

10人から4人を選び、残りの6人から3人を選び、最後に残った3人から3人を選ぶ組み合わせを計算します。ただし、3人のグループが2つあるため、同じ組み合わせが重複して数えられているので、2!で割る必要があります。

$\frac{10!}{4!3!3!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2} = 10 \times 3 \times 4 \times 7 \times 5 = 2100$

(4) 4人、2人、2人、2人のグループに分ける場合：

10人から4人を選び、残りの6人から2人を選び、残りの4人から2人を選び、最後に残った2人から2人を選ぶ組み合わせを計算します。ただし、2人のグループが3つあるため、同じ組み合わせが重複して数えられているので、3!で割る必要があります。

$\frac{10!}{4!2!2!2!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 2 \times 2 \times 6} = 10 \times 9 \times 7 \times 5 = 3150$

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 2520通り

(3) 4200通り

(4) 3150通り

4. 訂正

(3) 4人、3人、3人のグループに分ける場合：

10人から4人を選び、残りの6人から3人を選び、最後に残った3人から3人を選ぶ組み合わせを計算します。ただし、3人のグループが2つあるため、同じ組み合わせが重複して数えられているので、2!で割る必要があります。

$\frac{10!}{4!3!3!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = 4200$

(1) 120通り

(2) 2520通り

(3) 4200通り

(4) 3150通り

解答(3)が間違っていたので修正しました。

最終的な答え

(1) 120通り

(2) 2520通り

(3) 4200通り

(4) 3150通り