80人の学生にアンケートを行ったところ、スポーツ番組が好きな人は60人、クイズ番組が好きな人は40人だった。ニュース番組が好きな人は70人いるとする。スポーツ番組、クイズ番組、ニュース番組のいずれも好きな人の人数を$y$人とする時、$y$の最小値を求める。

1. 問題の内容

80人の学生にアンケートを行ったところ、スポーツ番組が好きな人は60人、クイズ番組が好きな人は40人だった。ニュース番組が好きな人は70人いるとする。スポーツ番組、クイズ番組、ニュース番組のいずれも好きな人の人数を$y$人とする時、$y$の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、スポーツ番組、クイズ番組、ニュース番組をそれぞれ$A$, $B$, $C$とします。

それぞれの好きな人の人数を$n(A)=60$, $n(B)=40$, $n(C)=70$とします。

また、全体集合を$U$とし、$n(U)=80$とします。

$y$は$A$, $B$, $C$の少なくとも一つが好きな人の人数なので、$y=n(A \cup B \cup C)$となります。

$y$の最小値を求めるためには、$A \cup B \cup C$に含まれない人の数を最大にする必要があります。つまり、$A \cup B \cup C$の補集合に含まれる人数を最大にする。

包除原理より、

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$y = 60 + 40 + 70 - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C) = 170 - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

ここで、$n(A \cup B \cup C) \leq n(U) = 80$です。

また、$n(A \cup B \cup C) = n(U) - n((A \cup B \cup C)^c)$

$n((A \cup B \cup C)^c)$を最大にするということは、$n(A \cup B \cup C)$を最小にするということ。

$A \cup B \cup C \subseteq U$より、$n(A \cup B \cup C) \leq n(U) = 80$

$n(A \cup B \cup C) \geq n(A) + n(B) + n(C) - n(U) - n(U) = 60+40+70 - 80 - 80 = 10$

また、$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

$y = n(A \cup B \cup C)$の最小値を求める。

$n(A) + n(B) + n(C) = 60+40+70 = 170$

$A \cup B \cup C \subseteq U$より、$y \leq 80$

また、$A \cup B \cup C$はA, B, Cを全て含むので、大きい方の数を足した方が小さくなる。

$n(A) + n(B) > n(U)$なので、少なくとも$n(A \cap B)$が存在する。

$n(A \cap B) \geq n(A) + n(B) - n(U) = 60 + 40 - 80 = 20$

同様に、$n(A \cap C) \geq 60+70-80 = 50$, $n(B \cap C) \geq 40+70-80 = 30$

$n(A \cup B \cup C) \geq 60+40+70 - (n(A \cap B)+n(A \cap C)+n(B \cap C)) + 0 = 170 - (n(A \cap B)+n(A \cap C)+n(B \cap C))$

$n(A \cup B \cup C)$が最小になるのは、$n(A), n(B), n(C)$が極力重なっているとき。

つまり、$n(A \cup B \cup C)$の最小値は、3つの和が80を超えない最大の数。

$60 + 40 + 70 = 170$

$170 - 80 = 90$

$n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C)$を最大にする。

$n(A \cup B \cup C) \leq 80$

$n(A \cup B \cup C) \geq 70$

$80-60=20$, $80-40=40$, $80-70=10$.

$y=80-(80-60)-(80-40)-(80-70)= 80-(20+40+10) =80-70=10$

$80-(20+40+10)=10$

3. 最終的な答え

70