$n$ 個の袋があり、各袋には白玉が 2 個、赤玉が $2n-2$ 個入っている。各袋から 1 個ずつ玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数が 2 個である確率を $p_n$ とする。このとき、$\lim_{n \to \infty} p_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ 個の袋があり、各袋には白玉が 2 個、赤玉が $2n-2$ 個入っている。各袋から 1 個ずつ玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数が 2 個である確率を $p_n$ とする。このとき、$\lim_{n \to \infty} p_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$n$ 個の袋から 2 個の袋を選んで白玉を取り出し、残りの $n-2$ 個の袋からは赤玉を取り出す確率が $p_n$ である。

各袋から白玉を取り出す確率は $\frac{2}{2n} = \frac{1}{n}$ であり、赤玉を取り出す確率は $\frac{2n-2}{2n} = \frac{n-1}{n}$ である。

$p_n$ は、 $n$ 個の袋から 2 個の袋を選ぶ組み合わせの数と、選ばれた 2 つの袋から白玉を取り出す確率、残りの $n-2$ 個の袋から赤玉を取り出す確率の積で計算できる。

$n$ 個の袋から 2 個の袋を選ぶ組み合わせの数は、$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ である。

したがって、$p_n$ は以下のように表せる。

$p_n = \binom{n}{2} \left( \frac{1}{n} \right)^2 \left( \frac{n-1}{n} \right)^{n-2}$

$p_n = \frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{1}{n^2} \cdot \left( \frac{n-1}{n} \right)^{n-2} = \frac{n-1}{2n} \cdot \left( \frac{n-1}{n} \right)^{n-2}$

$p_n = \frac{n-1}{2n} \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n-2}$

$p_n = \frac{n-1}{2n} \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{-2}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{n-1}{2n} \to \frac{1}{2}$ であり、$\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \to \frac{1}{e}$ であり、$\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{-2} \to 1$ である。

よって、

$\lim_{n \to \infty} p_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{2n} \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n-2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e} \cdot 1 = \frac{1}{2e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2e}$