6人の選手 $A_1, A_2, B_1, B_2, B_3, B_4$ がトーナメント方式で戦う。$A_1$と$A_2$の実力は対等、$B_1, B_2, B_3, B_4$の実力も対等であり、$A_i (i = 1, 2)$ と $B_j (j = 1, 2, 3, 4)$ の対戦では、$A_i$ が勝つ確率は $p (0 < p < 1)$ である。$B_1$ が決勝戦に進出する確率と $B_1$ が優勝する確率を求める。

1. 問題の内容

6人の選手 $A_1, A_2, B_1, B_2, B_3, B_4$ がトーナメント方式で戦う。$A_1$と$A_2$の実力は対等、$B_1, B_2, B_3, B_4$の実力も対等であり、$A_i (i = 1, 2)$ と $B_j (j = 1, 2, 3, 4)$ の対戦では、$A_i$ が勝つ確率は $p (0 < p < 1)$ である。$B_1$ が決勝戦に進出する確率と $B_1$ が優勝する確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) $B_1$が決勝戦に進出する確率を求める。

$B_1$が決勝に進出するためには、$B_1$と$B_2$の対戦で$B_1$が勝つ必要がある。$B_1$と$B_2$の実力は互角なので、$B_1$が$B_2$に勝つ確率は$1/2$である。

(2) $B_1$が優勝する確率を求める。

$B_1$が優勝するためには、$B_1$が決勝戦に進出し、かつ、決勝戦で勝つ必要がある。

$B_1$が決勝戦に進出する確率は$(1)$で求めたように$1/2$である。

決勝戦に進出した場合、$B_1$は左側のブロックから勝ち上がった選手と対戦する。左側のブロックから勝ち上がるのは、$A_1$か$A_2$である。

$A_1$ が勝ち上がる確率は $1/2$、$A_2$ が勝ち上がる確率は $1/2$である。

$B_1$が$A_1$または$A_2$と対戦する場合、$B_1$が負ける確率は$p$なので、$B_1$が勝つ確率は$1-p$である。

よって、$B_1$が優勝する確率は、

$(1/2) \times (1-p)$

となる。

3. 最終的な答え

$B_1$が決勝戦に進出する確率は $\frac{1}{2}$ である。

$B_1$が優勝する確率は $\frac{1-p}{2}$ である。