硬貨を $n$ 回投げる。$k$ 回目に表が出たら $X_k = 1$、裏が出たら $X_k = 0$ とする。 $Y_n = \sum_{k=2}^{n} X_{k-1}X_k$ と定義するとき、$Y_n$ が奇数となる確率 $p_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

硬貨を $n$ 回投げる。$k$ 回目に表が出たら $X_k = 1$、裏が出たら $X_k = 0$ とする。

$Y_n = \sum_{k=2}^{n} X_{k-1}X_k$ と定義するとき、$Y_n$ が奇数となる確率 $p_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$Y_n$ の意味を考える。$Y_n$ は、$X_{k-1}$ と $X_k$ がともに1である回数の総和である。すなわち、$Y_n$ は、連続して表が出た回数を表している。

次に、$Y_n$ が奇数となる確率 $p_n$ を求める。

$p_n$ を求めるために、$p_{n+1}$ を $p_n$ で表すことを考える。

$n+1$ 回目に裏が出た場合、$X_{n+1}=0$ なので、$Y_{n+1} = Y_n$ となる。このとき、$Y_{n+1}$ が奇数である確率は $p_n$ である。

$n+1$ 回目に表が出た場合、$X_{n+1}=1$ なので、$Y_{n+1} = Y_n + X_n$ となる。このとき、$Y_{n+1}$ が奇数であるためには、$Y_n$ が偶数であり、$X_n=1$ である必要がある。$Y_n$ が偶数である確率は $1-p_n$ であり、$X_n=1$ となる確率は $\frac{1}{2}$ である。したがって、$Y_{n+1}$ が奇数である確率は $\frac{1}{2} (1-p_n)$ である。

以上より、

$p_{n+1} = \frac{1}{2} p_n + \frac{1}{2} (1-p_n) = \frac{1}{2}p_n + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}p_n = \frac{1}{2}$

ただし、$n \ge 2$ とする。

$n=2$ のとき、$Y_2=X_1 X_2$ なので、$Y_2$ が奇数であるためには、$X_1=1$ かつ $X_2=1$ である必要がある。これは、1回目と2回目がともに表である確率に等しいので、$p_2 = \frac{1}{4}$ である。

$n=3$ のとき、$Y_3 = X_1 X_2 + X_2 X_3$。

$Y_3$ が奇数となるのは、$X_1 X_2 = 1$ かつ $X_2 X_3 = 0$ または $X_1 X_2 = 0$ かつ $X_2 X_3 = 1$ の場合である。

$X_1 X_2 = 1$ かつ $X_2 X_3 = 0$ となるのは、$X_1 = 1, X_2 = 1, X_3 = 0$ の場合。確率は $\frac{1}{8}$。

$X_1 X_2 = 0$ かつ $X_2 X_3 = 1$ となるのは、$X_1 = 0, X_2 = 1, X_3 = 1$ の場合、$X_1 = 1, X_2 = 0, X_3 = *$ の場合。ただし、*は0または1。前者確率は $\frac{1}{8}$、後者確率は$\frac{1}{4}$

$p_3 = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$p_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (-\frac{1}{2})^{n-1}$

$p_{n+1} = \frac{1}{2}$ となるように変形すると、

$p_{n+1} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} (p_n - \frac{1}{3})$

$p_2 - \frac{1}{3} = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

$p_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} (-\frac{1}{2})^{n-2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (-\frac{1}{2})^{n-1}$

$p_n = \frac{1}{3} (1 + (-\frac{1}{2})^{n-1})$