36問の二者択一の問題があり、24問以上正解で合格となる。全くでたらめに解答した場合の合格率を求めよ。

## 問1

1. 問題の内容

36問の二者択一の問題があり、24問以上正解で合格となる。全くでたらめに解答した場合の合格率を求めよ。

2. 解き方の手順

二者択一の問題なので、各問題の正答率は1/2である。

したがって、36問中$k$問正解する確率は二項分布に従う。

$X \sim B(n, p)$とすると、$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$。

今回の問題では、$n=36$, $p=1/2$である。

合格するためには、24問以上正解する必要があるため、求める確率は

$P(X \geq 24) = \sum_{k=24}^{36} \binom{36}{k} (1/2)^k (1/2)^{36-k} = \sum_{k=24}^{36} \binom{36}{k} (1/2)^{36}$

である。

計算を簡単にするため、正規分布近似を検討する。

二項分布$B(n, p)$は、$n$が大きいとき、正規分布$N(np, np(1-p))$で近似できる。

今回の問題では、$n=36, p=1/2$なので、平均$\mu = np = 36 \times 1/2 = 18$, 分散$\sigma^2 = np(1-p) = 36 \times 1/2 \times 1/2 = 9$, 標準偏差$\sigma = 3$となる。

$X \sim N(18, 9)$で近似できる。

求める確率は$P(X \geq 24)$である。半整数補正を行うと、$P(X \geq 23.5)$となる。

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{23.5 - 18}{3} = \frac{5.5}{3} \approx 1.83$

$P(X \geq 23.5) = P(Z \geq 1.83) = 1 - P(Z < 1.83)$

標準正規分布表より、$P(Z < 1.83) \approx 0.9664$

したがって、$P(X \geq 23.5) = 1 - 0.9664 = 0.0336$

合格率は約3.36%である。

3. 最終的な答え

約3.36%

## 問2

1. 問題の内容

1から8までの目が等確率で出る正八面体のサイコロを640回振ったとき、1の目が90回以上出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

1の目が出る確率は、$p=1/8$である。

640回振ったとき、1の目が出る回数を$X$とすると、$X$は二項分布$B(640, 1/8)$に従う。

平均$\mu = np = 640 \times 1/8 = 80$, 分散$\sigma^2 = np(1-p) = 640 \times 1/8 \times 7/8 = 70$, 標準偏差$\sigma = \sqrt{70} \approx 8.37$となる。

$X$を正規分布$N(80, 70)$で近似する。

求める確率は、$P(X \geq 90)$である。半整数補正を行うと、$P(X \geq 89.5)$となる。

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{89.5 - 80}{\sqrt{70}} = \frac{9.5}{\sqrt{70}} \approx \frac{9.5}{8.37} \approx 1.13$

$P(X \geq 89.5) = P(Z \geq 1.13) = 1 - P(Z < 1.13)$

標準正規分布表より、$P(Z < 1.13) \approx 0.8708$

したがって、$P(X \geq 89.5) = 1 - 0.8708 = 0.1292$

1の目が90回以上出る確率は約12.92%である。

3. 最終的な答え

約12.92%

## 問3

1. 問題の内容

サイコロを180回投げるとき、1の目の出る回数が30回以上40回以下である確率を、半整数補正を用いて正規分布近似で計算せよ。

(ヒント: P(29.5 <= X <= 40.5) とみなして正規分布近似を行う)

2. 解き方の手順

1の目が出る確率は、$p=1/6$である。

180回投げたとき、1の目が出る回数を$X$とすると、$X$は二項分布$B(180, 1/6)$に従う。

平均$\mu = np = 180 \times 1/6 = 30$, 分散$\sigma^2 = np(1-p) = 180 \times 1/6 \times 5/6 = 25$, 標準偏差$\sigma = \sqrt{25} = 5$となる。

$X$を正規分布$N(30, 25)$で近似する。

求める確率は、$P(30 \leq X \leq 40)$である。半整数補正を行うと、$P(29.5 \leq X \leq 40.5)$となる。

$Z_1 = \frac{X_1 - \mu}{\sigma} = \frac{29.5 - 30}{5} = \frac{-0.5}{5} = -0.1$

$Z_2 = \frac{X_2 - \mu}{\sigma} = \frac{40.5 - 30}{5} = \frac{10.5}{5} = 2.1$

$P(29.5 \leq X \leq 40.5) = P(-0.1 \leq Z \leq 2.1) = P(Z \leq 2.1) - P(Z < -0.1)$

標準正規分布表より、$P(Z \leq 2.1) \approx 0.9821$, $P(Z < -0.1) = 1 - P(Z \leq 0.1) \approx 1 - 0.5398 = 0.4602$

したがって、$P(29.5 \leq X \leq 40.5) = 0.9821 - 0.4602 = 0.5219$

1の目が30回以上40回以下である確率は約52.19%である。

3. 最終的な答え

約52.19%