$a=3$, $b=6$とし、$h(x) = f(x) + g(x)$とする。ここで、$f(x)$と$g(x)$はそれぞれ$a$と$b$を底とする指数関数である。 $-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲における関数$h(x)$の最小値について考察する。$t = 8^x$とおいたとき、$2^{3x}$, $2^{6x}$ を $t$ で表し、$h(x)$を$t$を用いて表し、$-1 \le x \le \frac{1}{2}$における$t$の取りうる値の範囲を求める。さらに、$h(x)$の最小値を求め、$h(x)$が最小の整数となるときの$x$の値を求める。

1. 問題の内容

$a=3$, $b=6$とし、$h(x) = f(x) + g(x)$とする。ここで、$f(x)$と$g(x)$はそれぞれ$a$と$b$を底とする指数関数である。 $-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲における関数$h(x)$の最小値について考察する。$t = 8^x$とおいたとき、$2^{3x}$, $2^{6x}$ を $t$ で表し、$h(x)$を$t$を用いて表し、$-1 \le x \le \frac{1}{2}$における$t$の取りうる値の範囲を求める。さらに、$h(x)$の最小値を求め、$h(x)$が最小の整数となるときの$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$t = 8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$より、

$2^{3x} = t$ (カ)

また、$2^{6x} = (2^{3x})^2 = t^2$ (キ)

したがって、$2^{6x}=t^2$

次に、$a=3$、$b=6$だから、おそらく$f(x)=3^{2x}=9^x$, $g(x)=6^x$でしょう。

$f(x)$も$g(x)$も$8^x$を用いて表す必要があるので、解答欄の形から類推して、

$h(x) = 9^x + 36^x$と仮定します。すると、

$3^{2x}=(3^2)^x = 9^x=(3^x)^2$、$6^{2x}=36^x=(6^x)^2$でなくてはならず、今回の問題文とは合いません。

そこで、$f(x)=2^{3x}$、$g(x)=2^{6x}$とします。このとき、$h(x)=f(x)+g(x)=2^{3x}+2^{6x}$となります。

$h(x)=t+t^2$となります。

$-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲で、$t = 8^x$ の取りうる値を考えます。

$x = -1$ のとき、$t = 8^{-1} = \frac{1}{8}$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$t = 8^{\frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} = 2 \sqrt{2} = \sqrt{8}$

したがって、$\frac{1}{8} \le t \le 2 \sqrt{2}$ (ク、ケ、コ、サ)

$h(x) = t^2 + t$ の最小値を求めます。平方完成すると、

$h(x) = (t + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき最小値 $-\frac{1}{4}$ を取りますが、$\frac{1}{8} \le t \le 2 \sqrt{2}$ の範囲なので、$t = \frac{1}{8}$ で最小となります。

最小値は、$h(x) = (\frac{1}{8})^2 + \frac{1}{8} = \frac{1}{64} + \frac{1}{8} = \frac{1 + 8}{64} = \frac{9}{64}$

したがって、最小値は $\frac{9}{64}$ (シ、ス、セ)

$-1 \le x \le \frac{1}{2}$ の範囲において、$h(x)$ が取りうる値のうち、最小の整数は、$h(x) \ge \frac{9}{64}$ より、$1$ (ソタ)

$h(x) = 1$ を満たす$x$を求める。$t+t^2=1$より、$t^2+t-1=0$

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$t = 8^x > 0$ より、$t = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$8^x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$x = \log_8 \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \log_8 \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

したがって、$x = \log_8 \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ (チ、ツ、テ)

3. 最終的な答え

カ：t

キ：t^2

ク：1

ケ：8

コ：2

サ：2

シ：9

ス：64

セ：9

ソタ：1

チ：5

ツ：-1

テ：5