赤い袋に1と2のカードが、白い袋に2と4のカードが入っている。それぞれの袋から1枚ずつカードを取り出し、赤い袋から取り出した数を確率変数A、白い袋から取り出した数を確率変数Bとする。 A=2となる確率、Aの平均E(A)と分散V(A)、十の位がA、一の位がBであるような2桁の数Mの平均E(M)と分散V(M)を求める。

1. 問題の内容

赤い袋に1と2のカードが、白い袋に2と4のカードが入っている。それぞれの袋から1枚ずつカードを取り出し、赤い袋から取り出した数を確率変数A、白い袋から取り出した数を確率変数Bとする。

A=2となる確率、Aの平均E(A)と分散V(A)、十の位がA、一の位がBであるような2桁の数Mの平均E(M)と分散V(M)を求める。

2. 解き方の手順

まず、確率変数Aについて考える。

Aは赤い袋から取り出したカードの数なので、A=1またはA=2となる。

A=2となる確率は、赤い袋に1と2の2枚のカードが入っているので、A=2となる確率は $1/2$ である。

次に、Aの平均E(A)を求める。

E(A) = (1 * P(A=1)) + (2 * P(A=2))

A=1となる確率は1/2なので、

E(A) = (1 * 1/2) + (2 * 1/2) = 1/2 + 1 = 3/2

次に、Aの分散V(A)を求める。

V(A) = E(A^2) - (E(A))^2

E(A^2) = (1^2 * 1/2) + (2^2 * 1/2) = 1/2 + 4/2 = 5/2

V(A) = 5/2 - (3/2)^2 = 5/2 - 9/4 = 10/4 - 9/4 = 1/4

次に、確率変数Bについて考える。

Bは白い袋から取り出したカードの数なので、B=2またはB=4となる。

P(B=2) = 1/2

P(B=4) = 1/2

E(B) = (2 * 1/2) + (4 * 1/2) = 1 + 2 = 3

E(B^2) = (2^2 * 1/2) + (4^2 * 1/2) = 2 + 8 = 10

V(B) = E(B^2) - (E(B))^2 = 10 - 3^2 = 10 - 9 = 1

次に、確率変数Mについて考える。

Mは十の位がA、一の位がBであるような2桁の数を表すので、M = 10A + B と表せる。

E(M) = E(10A + B) = 10E(A) + E(B) = 10 * (3/2) + 3 = 15 + 3 = 18

V(M) = V(10A + B)

AとBは独立なので、V(10A + B) = 10^2 * V(A) + V(B) = 100 * (1/4) + 1 = 25 + 1 = 26

3. 最終的な答え

A=2となる確率は 1/2

E(A) = 3/2

V(A) = 1/4

E(M) = 18

V(M) = 26