多項式 $p(x) = x^3 - 4x^2 + x - 5$ を、(1) $x-1$ および (2) $x+1$ で割ったときの余りをそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

多項式 $p(x) = x^3 - 4x^2 + x - 5$ を、(1) $x-1$ および (2) $x+1$ で割ったときの余りをそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

余りの定理を利用します。

多項式 $p(x)$ を一次式 $x-a$ で割ったときの余りは $p(a)$ で与えられます。

(1) $x-1$ で割ったときの余りを求めます。

$x-1 = 0$ となる $x$ の値は $x=1$ です。

したがって、求める余りは $p(1)$ です。

$p(1) = 1^3 - 4(1)^2 + 1 - 5 = 1 - 4 + 1 - 5 = -7$

(2) $x+1$ で割ったときの余りを求めます。

$x+1 = 0$ となる $x$ の値は $x=-1$ です。

したがって、求める余りは $p(-1)$ です。

$p(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) - 5 = -1 - 4 - 1 - 5 = -11$

3. 最終的な答え

(1) $x-1$ で割ったときの余り： -7

(2) $x+1$ で割ったときの余り： -11