扇形OABの弧ABの長さが1cmであるとき、面積が4倍である扇形OCDの弧の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

扇形OABの弧ABの長さが1cmであるとき、面積が4倍である扇形OCDの弧の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

扇形の面積は、半径を$r$、中心角を$\theta$（ラジアン）、弧の長さを$l$とすると、次の式で表されます。

* 面積: $S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl$

扇形OABの半径を$r_1$、中心角を$\theta_1$、弧の長さを$l_1$、面積を$S_1$とします。

扇形OCDの半径を$r_2$、中心角を$\theta_2$、弧の長さを$l_2$、面積を$S_2$とします。

問題より、$l_1 = 1$ cm、 $S_2 = 4S_1$です。

扇形の面積の公式から、$S_1 = \frac{1}{2}r_1l_1 = \frac{1}{2}r_1(1) = \frac{1}{2}r_1$です。

同様に、$S_2 = \frac{1}{2}r_2l_2$です。

$S_2 = 4S_1$なので、$\frac{1}{2}r_2l_2 = 4(\frac{1}{2}r_1)$となり、$r_2l_2 = 4r_1$です。

また、面積の比が4倍であることから、相似比は$\sqrt{4}=2$倍となります。つまり、$r_2 = 2r_1$が成り立ちます。

$r_2l_2 = 4r_1$に$r_2 = 2r_1$を代入すると、$2r_1l_2 = 4r_1$となります。

両辺を$2r_1$で割ると、$l_2 = 2$となります。

3. 最終的な答え

2 cm