扇形OCDの弧の長さが2cm、中心角が40°であるとき、扇形OABの中心角を求める問題。扇形OABの半径は1cmである。

1. 問題の内容

扇形OCDの弧の長さが2cm、中心角が40°であるとき、扇形OABの中心角を求める問題。扇形OABの半径は1cmである。

2. 解き方の手順

扇形の弧の長さは、半径に比例し、中心角に比例する。

扇形OCDの半径を$r_1$、中心角を$\theta_1$、弧の長さを$l_1$とする。

扇形OABの半径を$r_2$、中心角を$\theta_2$、弧の長さを$l_2$とする。

与えられた条件から、$r_1 = OD$、$l_1 = 2$cm、$\theta_1 = 40^\circ$、$r_2 = OA = 1$cmである。

まず、$r_1$を求める。扇形の弧の長さの公式は、

$l = r \times \theta$ (ここで、$\theta$はラジアンで表す)である。

しかし、ここでは比例関係を使うので、角度を度に換算する必要はない。

$\frac{l_1}{r_1 \times \theta_1} = \frac{l_2}{r_2 \times \theta_2}$

$l = 2\pi r \times \frac{\theta}{360}$

扇形OCDの弧の長さは2cmなので、

$2 = 2 \pi r \times \frac{40}{360}$

$\theta_1 = 40$度の時、弧の長さが2cmということは、

$\frac{r_1}{2} = \frac{360}{2\pi \times 40}$

$r_1 \times 40 = k \times 2$

$r_1 = \frac{2}{40/360}$

$r_1 = OD$の値は問題文からは不明。

扇形の弧の長さを求める公式は、中心角をラジアンで表すと、弧の長さ = 半径 × 中心角　である。

扇形OCDについて、$2 = r_1 \times \frac{40}{360} \times 2 \pi$。　$OD = r_1$

扇形OABについて、$x = 1 \times \frac{\theta_2}{360} \times 2 \pi$。　$OA = 1$

弧の長さは、半径と中心角に比例するので、

$\frac{2}{40} = \frac{x}{\theta_2}$

$\frac{OC}{OA} = \frac{OD}{OA} = \frac{OC}{1}$

$OC$の長さが必要。

弧の長さと中心角の比をとることを考える。

扇形OCDの中心角が40°で弧の長さが2cmなので、

中心角が1°あたりの弧の長さは$\frac{2}{40} = \frac{1}{20}$cm。

扇形OABの中心角を$\theta$とすると、弧の長さは

$l_2 = 1 \times \frac{\theta}{360} \times 2\pi$である。

扇形OCDの中心角が40°で弧の長さが2cmだから、

半径1cmにおける中心角をxとすると、

$\frac{2}{OD} = \frac{x}{1}$

$x = \frac{2}{OD}$

$\frac{40}{2\pi \times OD} \pi OD/180 =2$

$\frac{40}{2}=\frac{x}{1}$

$x = 20$

扇形OABの中心角は20°

3. 最終的な答え

20°