3次方程式 $x^3 + (2a^2 - 1)x^2 - (5a^2 - 4a)x + 3a^2 - 4a = 0$ （$a$ は実数）が実数の2重解を持つとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + (2a^2 - 1)x^2 - (5a^2 - 4a)x + 3a^2 - 4a = 0$ （$a$ は実数）が実数の2重解を持つとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式を $f(x) = 0$ とおきます。

$f(x) = x^3 + (2a^2 - 1)x^2 - (5a^2 - 4a)x + 3a^2 - 4a$

定数項に着目すると、$f(1) = 1 + (2a^2 - 1) - (5a^2 - 4a) + 3a^2 - 4a = 1 + 2a^2 - 1 - 5a^2 + 4a + 3a^2 - 4a = 0$ となります。

したがって、$x = 1$ はこの方程式の解の一つです。つまり、$f(x)$ は $(x - 1)$ を因数に持ちます。

$f(x)$ を $(x - 1)$ で割ると、

\begin{array}{c|cccc}

& 1 & 2a^2 - 1 & -(5a^2 - 4a) & 3a^2 - 4a \\

1 & & 1 & 2a^2 & -3a^2 + 4a \\

\hline

& 1 & 2a^2 & -3a^2 + 4a & 0

\end{array}

したがって、$f(x) = (x - 1)(x^2 + 2a^2 x - (3a^2 - 4a)) = 0$ となります。

2重解を持つ条件は、次のいずれかです。

(i) $x^2 + 2a^2 x - (3a^2 - 4a) = 0$ が $x = 1$ を解として持つ。

(ii) $x^2 + 2a^2 x - (3a^2 - 4a) = 0$ が重解を持つ。

(i) の場合、$x = 1$ を $x^2 + 2a^2 x - (3a^2 - 4a) = 0$ に代入すると、

$1 + 2a^2 - 3a^2 + 4a = 0$

$-a^2 + 4a + 1 = 0$

$a^2 - 4a - 1 = 0$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

(ii) の場合、$x^2 + 2a^2 x - (3a^2 - 4a) = 0$ が重解を持つので、判別式 $D = 0$ となります。

$D = (2a^2)^2 - 4(1)(-(3a^2 - 4a)) = 4a^4 + 12a^2 - 16a = 0$

$4a(a^3 + 3a - 4) = 0$

$4a(a - 1)(a^2 + a + 4) = 0$

$a = 0, 1$

$a^2 + a + 4 = 0$ は実数解を持たない。

したがって、$a = 0, 1, 2 \pm \sqrt{5}$ となります。

$a = 0$ のとき、$x^3 - x^2 = 0$ となり、$x^2(x - 1) = 0$ なので、$x = 0$ (重解), $x = 1$ となります。

$a = 1$ のとき、$x^3 + x^2 + x - 1 = 0$ となり、$f(x) = (x-1)(x^2 + 2a^2x - (3a^2 - 4a))=(x-1)(x^2+2x+1)=(x-1)(x+1)^2$なので、$x=1, -1$ (重解)となります。

$a = 2 \pm \sqrt{5}$ のとき、$x = 1$ が重解となります。

3. 最終的な答え

$a = 0, 1, 2 \pm \sqrt{5}$